§1.3　笛卡儿积（Cartesian product）

我们知道，集合中的元素是无次序的，例如{x，y}={y，x}.然而，现实世界中，许多对象必须用两个具有固定次序的元素来描述.比如，直角平面坐标系中的点通常由横坐标x和纵坐标y表示为（x，y），而且当x≠y时，（x，y）与（y，x）代表平面中不同的两点，我们称两个具有固定次序的对象为序偶（ordered pairs），记为<x，y>.

定义1.3.1　设<x，y>和<u，υ>为两个序偶，若x=u且y=υ，则称这两个序偶相等，记为<x，y>=<u，υ>.

序偶<x，y>中的两个元素可以来自两个不同的集合.例如，若x代表姓名，y代表国名，则序偶<x，y>就可表示某公民及其国籍的信息.更一般地，我们有：

定义1.3.2　设A，B是任意两个集合.令

A×B={<x，y>|x∈A且y∈B}

称集合A×B为A与B的笛卡儿积或直积.

特别地，记A×A为A2.

【例1.4】　设A={α，β}，B={1，2，3}，则

A×B={<α，1>，<α，2>，<α，3>，<β，1>，<β，2>，<β，3>}

B×A={<1，α>，<2，α>，<3，α>，<1，β>，<2，β>，<3，β>}

A×A=A2={<α，α>，<α，β>，<β，α>，<β，β>}

由例1.4可知，一般地，A×B≠B×A.

可以将序偶的概念推广为n元有序组（ordered n-tuples）.

定义1.3.3　设x1，x2，…，xn为任意n个元素，n≥2，令

称<x1，x2，…，xn>为由x1，x2，…，xn组成的n元有序组，并称xi为第i个分量，i=1，2，…，n.

用归纳法可以证明：<x1，x2，…，xn>=<y1，y2，…，yn>当且仅当xi=yi，i=1，2，…，n.

定义1.3.4　设A1，A2，…，An为任意n个集合，令

称A1×A2×…×An为A1，A2，…，An的笛卡儿积.当A1=A2=…=An=A时，将A1×A2×…×An简记为An.

例如，n=3时，表示空间直角坐标系中所有点的集合.

不难证明，.