§1.2　集合的基本运算

以下设E是这样一个集合：它包含我们所讨论的所有集合，并称E为全集（universal set）.

定义1.2.1　设A，B为任意两个集合，令

A∪B={x|x∈A或x∈B}

A∩B={x|x∈A且x∈B}

A-B={x|x∈A且x∉B）

分别称A∪B、A∩B、A-B和 为集合A与B的并、交、差和对称差.

特别地，差集E-A称为A的补集，记为.

如果，则称A与B不相交.

例如，若取全集E={1，2，3，4，5}，A={1，3，4}，B={3，5}，则有

A∪B={1，3，4，5}

A∩B={3}，

A-B={1，4}

B-A={5}，

不难证明，对任意集合A、B和C，下面的运算规律成立：

（1）A∪A=A，A∩A=A（幂等律）；

（2）A∪B=B∪A，A∩B=B∩A（交换律）；

（3）（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（A∩B）∩C=A∩（B∩C）（结合律）；

（4）A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）（分配律）；

（5）A∩（A∪B）=A，A∪（A∩B）=A（吸收律）；

例如，我们来证明分配律之一：A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）.

任取x∈A∩（B∪C），则x∈A且x∈B∪C，即x∈A且x∈B或x∈C.于是，x∈A∩B或者x∈A∩C，故x∈（A∩B）∪（A∩C），即证得

A∩（B∪C）⊆（A∩B）∪（A∩C）　　（1.1）

另一方面，任取x∈（A∩B）∪（A∩C），则x∈A∩B或者x∈A∩C，即x∈A且x∈B，或者x∈A且x∈C，于是有x∈A且x∈B或者x∈C，即x∈A且x∈B∪C，因此，x∈A∩（B∪C），故

（A∩B）∪（A∩C）⊆A∩（B∪C）　　（1.2）

综上，由式（1.1）和式（1.2）可得

A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

我们再来证明De Morgan律之一：.

因为，当且仅当x∉（A∪B）当且仅当x∉A且x∉B当且仅当且当且仅当，因此，.

其余的运算规律，都可以类似地证明.

【例1.3】　证明对任何集合X和Y，.