§1.1　集合的概念及其表示

由于集合是一个不精确定义的概念，因此，只能给它以直观的描述.所谓集合，可描述为“由一些任意确定的、彼此有区别的对象所组成的一个整体”.集合中的对象就称为该集合中的元素.通常用大写英文字母表示集合，而用小写英文字母表示元素.

如果a是集合S中的元素，则记为a∈S，读作“a属于S”；如果a不是S中的元素，则记为a∉S，读作“a不属于S”.

【例1.1】　以下是一些集合的例子.

（1）教室里所有课桌的集合；

（2）全体自然数的集合；

（3）100以内的素数集合；

（4）方程x2+x+1=0的实根集合.

定义1.1.1　设A为集合，用|A|表示A中所含元素的个数.

（1）若|A|=0，则称A为空集（empty set），空集常用表示；

（2）若|A|=n（自然数），则称A为有限集（finite set）；

（3）若|A|=∞，则称A为无限集（infinite set）；

（4）若|A|≠0，则称A为非空集（nonempty set）.

在例1.1所举的4个集合中，（1）和（3）为非空有限集，（2）为无限集，（4）为空集.为方便起见，本书用以下符号表示固定集合：

Ν——自然数集合；Z——整数集合；

Q——有理数集合；R——实数集合.

由集合的概念可知，要确定一个集合，只需指出哪些元素属于该集合，哪些元素不属于该集合.常用以下两种方法描述一个集合.

1.列举法

按任意一种次序，不重复地将集合中的元素全部或部分地列出来，未列出来的元素用“…”代替，并用括号括起来，例如：

10以内的素数的集合M={2，3，5，7}；

26个英文小写字母的集合M={a，b，c，…，x，y，z}；

所有整数的集合Z={…，-2，-1，0，1，2，…}；

全体正偶数的集合E={2，4，6，…}.

部分地列举元素时，所列出的元素要能反映出该集合元素的构造规律.

2.描述法

用集合中元素所共同具有的某个性质来刻画集合.任何一个元素属于该集合当且仅当该元素具有规定的性质.例如，在直角坐标系平面内，满足方程x2+y2=1的全部点坐标所组成的集合D可以表示为

D={<x，y>|x，y∈R且x2+y2=1}

其中，<x，y>表示集合D的元素.

我们知道，元素与集合之间是属于或不属于的关系，对集合之间的关系，我们有：

定义1.1.2　设A，B为任意两个集合.

（1）若对每个x∈A均有x∈B，则称A为B的子集，也称A含于B或B包含A，记为A⊆B或B⊇A.

（2）若A⊆B且B⊆A，则称A与B相等，记为A=B，否则称A与B不相等，记为A≠B.

（3）若A⊆B且A≠B，则称A为B的真子集，也称A真含于B或B真包含A，记为A⊂B或B⊃A.

由集合的概念可知，一个集合也可以作为另一个集合的元素.

定义1.1.3　设A为任意集合，令ρ（A）={X|X⊆A}，则称ρ（A）为A的幂集（power set），即A的所有子集构成的集合.A的幂集也可以记为2A.

例如，设A={a，{b}}，则A的幂集为

显然，若A为有限集，且，则ρ（A）的元素个数为

【例1.2】　设，B=ρ（ρ（A）），判断下列各题是否正确.

解：因A是仅以空集为元素的集合，故，，，于是：

（1），因为空集含于任何集合，所以.

（2），因为，所以.

（3），因为，所以.

综上，各题都是正确的.