1.2　函数极值问题

以一元函数为例，对于定义在区间[a, b]上的一元函数y=f（x），若称一个内点x0∈（a, b）是函数f（x）的极值点，则x0是一个极小（或者极大）点．函数f（x）极小点的定义为存在点x0使得

f（x）＞f（x0），∀x∈Oδ（x0）\{x0}

式中，Oδ（x0）\{x0}=（x0-δ, x0）∪（x0，x0+δ），即x0的去心邻域．同样，定义极大点，只要将极小点定义中的“＜”换成“＞”即可．

如果函数y=f（x）充分光滑，或者说具有足够阶的导数，比如二阶或二阶以上的导数，那么此时就可以通过如下定理判别极值点：

定理1.1（费马定理）　如果可微函数y=f(x)在x0处达到极小值（或者极大值），则该点处的导数值必为0，即f′(x0)=0．

若函数y=f（x）存在一点ξ，在该点处函数的导数为0，即满足f′（ξ）=0，则该点称为函数y=f（x）的一个驻点．

进一步地，如果函数y=f（x）有二阶导数，则可以依据二阶导数的符号来判定该函数在驻点处取极大值还是极小值．

定理1.2　对于二阶可导函数y=f(x)，可根据其二阶导数的符号来判定函数在驻点x0处的极值属性．

（1）当f″(x0)＞0时，函数y=f(x)在驻点x0处达到极小值．

（2）当f″(x0)＜0时，函数y=f(x)在驻点x0处达到极大值．

实际上，利用函数在驻点x0附近的二阶泰勒展开式

就可以通过f″（x0）的符号判定驻点x0的极值属性．当然，如果二阶导数f″（x0）=0，则需要进一步判别．

多元函数也有相应的判别法．以二元函数为例，函数w=f（x, y）在驻点P0（x0，y0）（即偏导数的点）附近存在二阶连续偏导数，则该函数可以进行泰勒展开

式中，．这样，驻点处是否取极值就取决于二阶偏导数构成的对称矩阵的正定性质，也就是取决于其系数矩阵A（P0）的正定性质．

定理1.3　对于二阶连续可导的函数w=f(x, y)，可根据其在驻点P0处的二阶偏导数系数矩阵来判定函数在驻点处的极值属性．

（1）若A(P0)是正定的，则函数w=f(x, y)在P0点处达到极小值．

（2）若A(P0)是负定的，则函数w=f(x, y)在P0点处达到极大值．

（3）若A(P0)是不定的，则函数w=f(x, y)在P0点处不达到极值．

所谓矩阵A（P0）是不定的，是指其同时包含正和负的特征值．对于矩阵A（P0）是退化（即奇异矩阵）的情况，需要进一步判别该点是否为极值点．