1.1.2　曲线

无论是平面曲线还是空间曲线，都可以视为空间曲面的交线．特别地，平面曲线可以视为空间曲面与平面的交线．例如，曲面

与平面z=4相交，表示一条在z=4平面上的曲线x2+y2=22即半径为2的圆周，其圆心在点（0, 0, 4），如图1-6（a）所示．

再如，球面和柱面的交线通常被称为维维亚尼（Viviani）曲线，如图1-6（b）所示，其表达式为

曲线的描述或者作图可以依据其定义域、导数分析以及其他性质分析来实现．参数方程表示的曲线同样也可以进行类似分析和作图，只是需要注意参数的变化引起的变量（x, y）或者（x, y, z）的变化．同样，也可以以其中之一的变量为参数（例如，令变量y相对于变量x的变化而变化），构成参数方程．关于曲线参数方程的介绍，可以参见一些文献，例如刘世伟[1]、黄力民[2]、陈泰伦与彭卫丽[3]等人的研究工作．另一方面，王远弟与盛万成[4]还深入讨论了二维曲线在参数方程表示下的一些具体应用，例如外摆线、二维定常流特征线、闭曲线围成图形面积计算，以及椭圆参数方程的参数与弧长间的差别等．

曲线可以视为空间曲面的交线，当然，平面曲线可以视为曲面与平面，特别是与坐标面的交线．

平面曲线即平面光滑曲线，是指表达式具有连续导数的曲线．平面曲线也有三种基本表示形式，即显式方程、参数方程（包括极坐标形式）和一般方程形式．

（1）显式方程形式为y=f（x）．例如，正弦曲线y=sinx．

（2）参数方程形式为{x, y}={φ（t），ψ（t）}．例如，椭圆周{x, y}={acost, bsint}（t∈[0, 2π]）．

（3）一般方程形式为F（x, y）=0．例如，椭圆周．

设Q（X, Y）为过曲线上一点P（x, y）的切线lp上的点，即Q（X, Y）∈ lp，则三种表示形式下的切线方程分别如下所示：

显式方程表示为

参数方程表示为

一般方程表示为

式（1-22）中，若Fy（x, y）=0，则以Fx为分母．

平面曲线长度即曲线弧长．三种表示形式下，平面光滑曲线对应的长度（即曲线弧长）计算式如下：

（1）显式方程y=f（x）下，弧长，这里的区间[a, b]是曲线的定义域．

（2）参数方程x=φ（t），y=ψ（t）下，弧长，这里的区间[α, β]是曲线的定义域．

（3）一般方程F（x, y）=0下，可以转化成显式方程或者参数方程计算．

空间曲线有三种基本表示形式，即显式方程、参数方程和一般方程形式．

（1）显式方程形式为{y, z}={f（x），g（x）}，x∈[a, b]．

（2）参数方程形式为{x, y, z}={φ（t），ψ（t），ζ（t）}，t∈[α, β]．例如，螺旋线{x, y, z}={acost, bsint, t}（t∈[0, 4π]）．

（3）一般方程形式为，这是两个曲面的交线（见图1-7）．

两个曲面（见图1-7）的切平面交线为L，其定向矢量l垂直于这两个切平面的法向量n1和n2，即l与n1和n2的公垂线平行．

一般方程表示下，曲线（即两个曲面的交线）

在点P（x, y, z）∈Γ=Σ1∩Σ2处的切向量l可以取为切平面的法向量n1和n2的向量积，即

那么，交线Γ的切线L的方程为

具体地

这里的R=（-∞，+∞）表示整个实数轴，即实数全体．

在参数方程表示下，曲线Γ：{x, y, z}={φ（τ），ψ（τ），ζ（τ）}（τ∈[α, β]）在点P（x, y, z）=P[φ（τ），ψ（τ），ζ（τ）]处的切线L的方程为

这里的Q（X, Y, Z）∈L．

对于光滑曲线，即其表达式为关于最终自变量具有连续导数的曲线，其弧长计算公式都可以转化为参数方程来计算．所以，这里只给出参数方程形式下弧长的计算式

这里，曲线的定义域为[α, β]．

用参数方程表示的曲面Σ：r=r（u, v）上的一条曲线C：u=u（t），v=v（t），t∈[α, β]，其弧长为

其中的第一基本形式系数见式（1-17）．

具体的计算例子可以参见一般的微积分、数学分析以及微分几何书籍，这里不再给出详细例子．