2.1.3　极小曲面问题

假设在一个平面有界区域Ω上定义一个二元函数w=f（P）=f（x, y），函数在区域的边界∂Ω上取固定值w|∂Ω=ϕ（P），即函数满足一定边界条件．极小曲面问题是在给定的边界条件下寻找面积最小的曲面Σ，当然，这里的边界条件可能依据实际问题的不同而不同．

直角坐标表示下，曲面面积计算公式为

极小曲面问题也是一个带有约束条件的问题．以固定边界条件为例，需要寻找一个曲面Σ：w=f（P），P∈Ω使得面积最小而且满足

这里的Γ是曲面Σ的边界，它对应的是平面区域Ω的边界∂Ω上的函数值（见图2-4）．

前面所列举的三种典型的寻找函数问题，从泛函的角度看，可以视要找的函数为一个“点”．注意，这个“点”是函数，它和欧氏空间的点不一样．这些所要寻找的函数实际上还可能是一个函数向量．

“泛函”从字面上理解就是更为广泛的函数，这里讲的实际上是定义在一个函数集合上的“函数”．这种“函数”的值域是实数，定义域是函数空间．例如，将区间[a, b]上可积的函数f（x）构成的集合记为R（[a, b]），其定积分也就是黎曼积分

即定义了一个泛函．

同样，在这个函数集合上定义内积〈·，·〉如下：

这个内积也是一种“投影”（见1.3节）．

实际上，除了定义内积之外，所讨论的函数集合还具有一些代数结构和由内积生成的几何结构．代数结构方面，指的是函数本身可以进行相互代数运算；几何方面，由内积可以诱导出函数（即集合元素）的范数，也称“模”

这里的模指的是在区间[a, b]上勒贝格可积的函数集合，即勒贝格可积函数空间上的模，而这里的可积性和积分都是在勒贝格积分意义下的．

基于式（2-10）定义的内积和范数[见式（2-11）]，区间[a, b]上的勒贝格可积函数空间构成一个希尔伯特（Hilbert）空间．所谓希尔伯特空间是一个完备的内积空间，即这个内积空间的任何一个柯西（Cauchy）列都是收敛子列．如果一个函数列是柯西列，则对于∀ε＞0，总存在正整数N使得当n＞N时，有

注意，定义希尔伯特空间的内积可以多种多样，这里的内积只是其中一种．这方面的内容可以参见吉田耕作的《泛函分析》[5]．