2.1.2　等周问题

等周问题可以简单理解为，给定一条固定长度的曲线，如何在平面上将其围成一个面积尽量大的区域．这个问题有时候也称为“等周不等式”．传说古代北非城邦迦太基城的建立也和这个命题有关．

采用参数方程形式，可以假设所要求的曲线方程为

L：x=φ（t）, y=ψ（t）, t∈[0, T]

这里起始点和终点重合，形成一条闭曲线L，围成平面区域Ω[见图2-2（a）]．曲线围成的区域Ω的面积

这里以曲线的长度t为参数，而总长度T是固定值．这是一个带有约束条件的泛函极小问题．引入拉格朗日（Lagrange）函数，联列面积公式和约束条件获得新的变分问题

在具体实际中，等周问题还有可能会考虑利用已有边界围成区域面积最大的问题，这样就还面临固定长度的曲线在已有边界上选点的问题．如图2-2（b）所示，曲线L与已有边界（即图中带阴影的一边）的交点A（t=0）和B（t=T）亦即起点和终点的选取问题．此外，可能还涉及如何相交的问题．

简单展开一下，这个问题的解，也就是曲线围成的面积最大的区域，一定是一个向外凸的区域．如图2-3所示，显然向外凸的区域面积大．其中，图2-3（a）为向外凸的，图2-3（b）有一部分不是向外凸的．这样，这两个图像的面积就相差图2-3（b）的阴影部分．当然，这只是几何上的直观分析，详细的还需要理论证明．

等周问题还可以进一步延伸，如果一条定长曲线围成的不只是一块平面区域的面积，而是两块甚至多块等面积平面区域，还可能是多块指定面积比的平面区域等．这样问题就演化为二维泡泡问题，这也是一个经典问题，可以参见参考文献[6]．

另一个问题与等周问题相对，不是围成区域，而是将已知面积的平面图形均分或者按固定面积比例分割成两块或者多块区域，其要求或者条件是“分割线长度最短”．这是与本书密切相关的问题．