课题2.2　典型单相正弦交流电路分析与测试

知识点与技能要点

●　正弦交流电通过单一参数电路电压与电流关系及功率；

●　正弦交流电通过典型多参数组合简单电路电压与电流关系；

●　单相正弦交流电路的功率及功率因数的提高；

●　使用交流毫伏表、交流电流表及功率表测量正弦交流电路电压、电流及功率。

2.2.1　单一参数的正弦交流电路的分析与测试

知识迁移——导

1.定性观察电阻、电感、电容元件的阻抗频率特性

如图2-2-1（a）所示，r为30Ω的标准电阻，R=1kΩ，C=1μF，L≈10mH，通过电缆线将低频信号发生器输出的正弦信号接至如图2-2-1（a）所示的电路，作为激励源u，并用交流毫伏表测量，使激励电压的有效值为U=3V，保持不变。

使信号源的输出频率从200Hz逐渐增至5kHz（用频率计测量），并使开关S分别接通R、L、C三个元件，用交流毫伏表测量Ur，观察Ur大小的变化，即电流IR、IL和IC（等于Ur/r）随频率的变化，记录在表2-2-1中。

注意：在接通C测试时，信号源的频率应控制在200～2500Hz之间。

2.定性观察电阻、电感、电容元件端电压与电流波形关系

在图2-2-1（b）所示电路中，调节正弦交流信号源输出频率为1kHz，输出电压为3V，并保持不变，将双踪示波器CH1分别接到R、L、C两端，CH2接到r两端（将CH2INV键按下），调节双踪示波器，得到稳定的波形，并记录在表2-2-2中。

问题聚焦——思

●　电阻、电感、电容元件在交流电路中对电流的阻碍作用；

●　正弦交流电通过电阻、电感、电容元件电压与电流的关系；

●　正弦交流电通过电阻、电感、电容元件的功率。

知识链接——学

为了便于对照，加强理解与记忆，下面以表2-2-3的形式讨论正弦交流电通过电阻、电感、电容元件三个单一元件电压与电流关系等相关知识。

续表

应用举例——练

【例2-2-1】　220V、50Hz的电压分别加在电阻、电感和电容元件负载上，此时它们的电阻值、感抗值、容抗值均为22Ω，试分别求出三个元件中的电流，写出各电流的瞬时值表达式，并以电压为参考相量画出相量图。若电压的有效值不变，频率由50Hz变到500Hz，重新回答以上问题。

当f=500Hz时，

相量图如图2-2-2所示。

探究实践——做

定量测试正弦交流电通过单一参数电路的阻抗频率特性及电压与电流的相位关系。

参考方案：

按图2-2-1所示及实验做法，自拟表格进行测试。

2.2.2　多参数组合简单正弦交流电路的分析与测试

知识迁移——导

典型串联电路测试电路如图2-2-3所示。利用图2-2-3（a）分别测试RL串联电路、RC串联电路、RLC串联电路总电压与各分电压的关系（R=200Ω，C=0.1μF，L≈30mH，f=500Hz，信号输出Ui=3V），并利用图2-2-3（b）所示电路观察对应状态电路的总电压与总电流的相位关系，特别是RLC串联电路，在改变电源的频率时找到UR出现最大值及其前后的波形变化。

问题聚焦——思

●　多参数组合电路电压、电流的关系分析方法；

●　复阻抗的概念及相量形式的欧姆定律；

●　电路参数与电路性质的关系。

知识链接——学

下面采用表格的形式（见表2-2-4）以RI串联、RC串联、RLC串联电路为例，由基本元件的相量关系及基尔霍夫定律分析简单正弦交流电路端电压与端电流有效值关系及相位关系，并引入复阻抗的概念及相量形式的欧姆定律。

续表

续表

应用举例——练

【例2-2-2】　在电子技术中，常利用RC串联电路作移相电路，如图2-2-4（a）所示。已知输入电压，电容C=0.01μF，现要使输出电压在相位上前移60°，试问：

①应配多大的电阻R？

②此时输出电压的有效值uo等于多大？（作出相量图分析计算）

解　在此介绍通过作相量图求解简单电路的步骤：

①选择参考相量。参考相量原则上可以任选某一电压或电流（往往选已知的电压或电流），但为解题方便通常会进行如下的选择：a.串联电路选电流；b.并联电路选电压；c.混联电路选并联部分两端的电压。

②列相量方程。根据KVL、KCL列出所需要的相量方程。

③画相量图。根据基本元件及典型电路的电压、电流相位关系，由相量方程按矢量的合成画出由相关相量组成的相量图。

④根据相量图中边、角的几何关系得到相关正弦量的有效值、相位的关系，求出待求量。

按照相量图解题步骤，此题作答如下：

令，由KVL得

根据电容、电阻元件的电压、电流相位关系，以及相量方程，作出相量图，如图2-2-4（b）所示。

由相量图得到由组成的电压三角形，并由已知条件知相量滞后，即端电压、端电流的相位关系为φui=-60°。

得　　R=XCcot60°=15.92×0.577kΩ≈9.2kΩ

由电压三角形可知

Uo=UR=Uicos60°=1×0.5V=0.5V

【例2-2-3】　把一个电感线圈接到电压为20V的直流电流上，测得通过线圈的电流为0.4A，当把该线圈接到电压有效值为65V的工频交流电源上时，测得通过线圈的电流为0.5A。试求该电感线圈的参数R和L。

解　因为电感线圈接到直流电源上时感抗等于零，所以

接到工频交流电源上时，电路阻抗为

探究实践——做

探究RLC串联谐振电路。

参考方案：

①按图2-2-5组成监视、测量电路。先选用C=0.01μF，R=200Ω，L≈30mH的元件，用交流毫伏表测电压，用示波器监视信号源输出。令信号源输出电压Ui=4VP-P，并保持不变。

②找出电路的谐振频率f0。方法是，将交流毫伏表接在R（200Ω）两端，令信号源的频率由小逐渐变大（注意要维持信号源的输出幅度不变），当Uo的读数为最大时，读得频率计上的频率值即为电路的谐振频率f0，并测量UC与UL的值（注意及时更换交流毫伏表的量限）。

③在谐振点两侧，按频率递增或递减500Hz或1kHz，依次各取五个测量点，逐点测出Uo，UL，UC之值，自拟表格记入数据。

2.2.3　单相正弦交流电路的功率及测试

知识迁移——导

如图2-2-6所示，D为“25W，220V”的白炽灯，用万用表测量其电阻R；L为铁芯线圈，C=4.7μF。按图2-2-6所示接好电路，特别要注意功率表的接法，按下电源按钮，慢慢调节自耦调压器，使输出电压为220V。观察开关S断开与闭合时，各电表的读数。

问题聚焦——思

●　交流电路功率的概念；

●　感性负载并联电容元件后对电路的影响。

知识链接——学

1.正弦交流电路的功率

（1）瞬时功率

图2-2-7（a）所示为电路中一个二端网络，选择电压与电流参考方向为关联参考方向，设电流为参考正弦量，即设，其中，φ为电压u超前于电流i的相位差，若为无源二端网络，φ为该网络的阻抗角。

网络在任一瞬间吸收的功率即瞬时功率为

p=ui=2UIsin（ωt+φ）sinωt

化简得

p=UIcosφ（1-cos2ωt）+UIsinφsin2ωt　　（2-2-1）

其波形图如图2-2-7（b）所示。

瞬时功率有时为正值，有时为负值，表示网络有时从外部接受能量，有时向外部发出能量。如果所考虑的二端网络内不含独立源，这种能量交换的现象就是网络内储能元件所引起的。

（2）有功功率

将瞬时功率的表达式（2-2-1）代入有功功率的定义式

可得网络吸收的有功功率为

P=UIcosφ　　（2-2-2）

若二端网络为线性无源二端网络（以下讨论均为线性无源二端网络），则有功功率为

P=UIcosφ=URI=PR

即电路的有功功率为电阻元件消耗的功率。可以证明，对于任意无源二端网络，其有功功率等于该网络内所有电阻元件的有功功率之和，也等于各电源输出的有功功率之和。

（3）无功功率

由于储能元件的存在，网络与外部一般会有能量的交换，能量交换的规模可由无功功率来衡量，其定义为

Q=UIsinφ　　（2-2-3）

可以证明，对于任意线性无源二端网络，其无功功率等于该网络内所有电感元件和电容元件的无功功率之和，也等于各电源输出的无功功率之和。当网络为感性时，阻抗角φ>0，无功功率Q>0；当网络为容性时，阻抗角φ<0，无功功率Q<0。

Q=UIsinφ=∑（QL+QC）

式中，QL（=ULI）与QC（=-UCI）为单个储能元件的无功功率。

需要指出的是：

①无功功率的正负只说明网络是感性还是容性，绝对值|Q|才体现网络对外交换能量的规模。电感元件和电容元件无功功率的符号相反，标志它们在能量吞吐方面的互补作用。它们互相补偿，可以限制网络对外交换能量的规模。

②许多电气设备，如电动机、电焊机、变压器、荧光灯镇流器等，都具有电感线圈，为了建立磁场，发电厂必须向它们提供一定的无功功率，无功功率供给不足，很多电气设备就不能正常工作，甚至遭到损坏。

（4）视在功率

由于网络对外有能量的交换，因此，使网络的有功功率小于电压、电流有效值的乘积，即P=UIcosφ<UI，此时乘积UI虽不是已经实现的有功功率，却是一个有可能达到的“目标”（有可能实现的最大有功功率），故称电压有效值与电流有效值的积为网络的视在功率，用S表示，即

S=UI　　（2-2-4）

视在功率单位为伏·安（V·A）。视在功率表征电源提供的总功率，也用来表示交流电源的容量。发电机、变压器等电源容量就是用视在功率来描述的，它等于额定电压与额定电流的乘积。有功功率和无功功率可分别用视在功率，表示为

由式（2-2-4）及式（2-2-5）可以看出，视在功率S、有功功率P与无功功率Q构成一个直角三角形，称为功率三角形。由功率三角形可得

实际上，功率三角形也可以由电压三角形各边乘以I得到。所以电压三角形、阻抗三角形、功率三角形均为相似三角形。为了便于记忆，将三个“三角形”画在一起，如图2-2-8所示。

2.功率因数

为了表征电源功率被利用的程度，把有功功率与视在功率的比值称为网络的功率因数，用λ表示，即

即无源二端网络的功率因数λ等于该网络阻抗角（或电压超前于电流的相位差角）的余弦值，φ角又称功率因数角。在无源电路中，，故0≤cosφ≤1，又因cosφ只决定于电路的参数和频率，而与电压和电流无关，所以视在功率一定的电源，向电路输出的有功功率不由电源本身决定，而决定于全部电路的参数。

3.功率因数的提高

（1）提高功率因数的意义

①充分利用能源。P=Scosφ，其中S为发电设备可以提供的最大有功功率，但是供电系统中的感性负载（发电机、变压器、镇流器、电动机等）常常会使cosφ减小，从而造成P下降，能量不能充分利用。

②降低线路与发电机绕组的功率损耗。由于P=UIcosφ，所以，即在输电功率与输电电压一定的情况下，cosφ越小，输电电流越大。而当输电线路电阻为r时，输电损耗Δp=I2r，因此提高cosφ，可以二次方地降低输电损耗。这对于节能及保护用电设备有重大的意义。

（2）提高感性负载电路的功率因数

①条件。在不改变感性负载的有功功率及工作状态的前提下，提高负载所在电路的功率因数。

②方法。在感性负载两端并联一定大小的电容元件。

③实质。减少电源供给感性负载用于能量互换的部分，使得更多的电源能量消耗在负载上，转化为其他形式的能量（机械能、光能、热能等）。

④相量分析。图2-2-9（a）所示为一感性负载的电路模型，由R与L串联组成。

设感性负载的功率因数λ1=cosφ1，未并联C时，；并联C后，功率因数λ2=cosφ2，这时，如图2-2-9（b）所示。由相量图可以看到，感性负载的电压、电流、有功功率均未变化，但是线路电流有改变。

而

所以

式（2-2-8）就是将λ1=cosφ1提高到λ2=cosφ2时所应当并联的电容值的计算公式。

应用举例——练

【例2-2-4】　标有“220V，40W”的荧光灯接于220V的工频交流电源上。现要使其功率因数由0.5提高到0.9，试问应并联多大的电容？

解　由cosφ1=0.5，得tanφ1=1.732；

由cosφ2=0.9，得tanφ2=0.484。

探究实践——做

荧光灯电路及功率因数的提高测试。

参考方案：

（1）在实验电路板上进行荧光灯电路的接线

按照图2-2-10所示电路，利用“30W荧光灯实验器件”及主屏上的电流插座，进行正确接线，注意调压器手柄调到零位。

（2）荧光灯电路的测试

①串联电路测试。电容箱的电容元件全部断开，调节自耦调压器的输出，使其输出电压缓慢增大，直到荧光灯刚启辉点亮为止，记下三表的指示值，其中电流表通过专用电流插座引入，图2-2-10中标记“电流插座”处即为插入位置。然后将电压调至220V，测量功率P，电流I，电压U（电路输出电压）、UL（镇流器两端的电压）、UR（荧光灯管两端电压）等值，验证电压相量关系，即（R、XL通过“三表法”测量计算），将数据填入表2-2-5中。

②并联电容元件测试。将电容箱连入电路，改变电容值，进行三次重复测量，验证电流相量关系，即，将数据填入表2-2-6中。