课题2.1　正弦交流电的表示与测试

知识点与技能要点

●　正弦量三要素的意义及交流电的有效值和平均值的概念；

●　正弦量的解析式、波形图及相量表示；

●　相量形式的基尔霍夫定律；

●　交流电压表（交流毫伏表、万用表交流电压挡）、电流表测量交流电压及电流。

2.1.1　正弦交流电的瞬时值表示及典型交流信号的测试

知识迁移——导

将双踪示波器的通道之一（CH1或CH2）接到低频函数信号发生器的输出端，从低频函数信号发生器输出频率为1kHz，信号大小约2V（实验屏上交流毫伏表测量）的正弦波，调节示波器使得在荧光屏上出现两个完整的波形，分别观察频率不同、幅度不同、计时起点不同时的波形。

问题聚焦——思

●　正弦交流电的三要素；

●　正弦交流电的瞬时值表示、解析式与波形图；

●　同频率正弦量的相位关系。

知识链接——学

1.描述正弦交流电特征的物理量

大小和方向都随时间作周期性变化的电压、电流、电动势称为周期量。在一个周期内的数学平均值等于零的周期量，称为交流量或交流电。如果交流电的变化规律是时间的正弦函数，则称为正弦交流电或正弦量，通常把正弦交流电简称为交流电。若电路中的电压、电流等均为交流电，则称此种电路为正弦电流电路或正弦交流电路。

从观测到的电压波形图可以看出，交流电变化规律体现在描述变化的范围、变化的快慢、方向的变化几个特征物理量方面。

（1）周期、频率和角频率

交流电完成一次周期性变化所需的时间称为交流电的周期，用符号T表示，单位是s。周期较小时的单位还有ms和μs。

交流电在单位时间内完成周期性变化的次数称为交流电的频率，用符号f表示，单位是Hz，简称赫。频率较大的单位还有kHz和MHz。根据定义，周期和频率互为倒数，即

频率和周期都是反映交流电变化快慢的物理量，周期越短（频率越高），交流电变化就越快。

交流电变化的快慢，除了用周期和频率表示外，还可以用角频率表示。通常交流电变化一周也可用2π来计量（为了和转子转动变化的几何角区别，交流电变化的角度称为电角度），交流电每秒所变化的角度，称为交流电的角频率，用符号ω表示，单位是rad/s。周期、频率和角频率的关系为

我国使用的交流电的频率为50Hz，称为工作标准频率，简称工频。国家电网的频率为50Hz，频率误差的允许值为±0.2Hz。少数发达国家，如美国、日本等使用的交流电频率为60Hz。

（2）最大值

交流电在每周变化过程中出现的最大瞬时值称为振幅，也称为最大值。交流电的最大值不随时间的变化而变化。

（3）初相位

正弦交流电的产生是根据电磁感应原理，利用矩形线圈在磁场中旋转并满足转子与定子间的气隙（电枢表面）的磁场按正弦规律分布。对于不同的计时起点，线圈平面所处的位置（与磁中性面的夹角）不同，则输出的正弦电动势（电压、电流）初始状态不同。定义t=0时刻正弦量对应的角度为初相位，简称初相，它表示了交流电的初始状态即初始时刻的交流电的大小、方向（正负）和变化趋势，单位是度（°）或者弧度（rad）。显然，初相与计时起点有关。

（4）瞬时值

交流电在某一时刻所对应的值称为瞬时值。瞬时值随时间的变化而变化，不同时刻，瞬时值的大小和方向均不同。交流电的瞬时值取决于它的周期、幅值和初相位。

综上所述，最大值描述了正弦量大小的变化范围；角频率描述了正弦量变化的快慢；初相位描述了交流电的初始状态。这三个物理量决定了交流电的瞬时值，因此，将最大值、角频率和初相位称为交流电的三要素。

2.正弦交流电的表示

约定交流电的瞬时值用小写字母表示，如电动势、电压和电流的瞬时值分别用e、u和i表示。一个交流电的瞬时值，可以用函数表达式表示，称为交流电的解析式，也可用波形图（交流电随时间变化的曲线）表示。下面以交流电流为例来介绍交流电的表示方法。

注意在表示交流电的瞬时值时，也要像直流电一样，先选择交流电的正方向，这样瞬时值的正负才有意义。

（1）解析式

设图2-1-1中通过电阻元件的电流i是正弦电流，其参考方向如图2-1-1所示，则正弦电流的一般表达式为

i=Imsin（ωt+ψi）　　（2-1-3）

式中，Im、ω及ψi分别是正弦电流的最大值、角频率及初相，且规定-180°≤ψ≤180°。类似地可写出正弦电压与正弦电动势的解析式分别为

u=Umsin（ωt+ψu）

e=Emsin（ωt+ψe）

（2）波形图

交流电随时间变化的图像称为波形图，波形图横坐标既可用时间t，也可用弧度ωt，如图2-1-2所示。

当以时间作为横轴时，可以直观地在波形图中找到正弦量的“三要素”（弧度作为横轴时，角频率无法显示，但可以方便地显示同频率正弦交流电之间的相位关系，因此在正弦交流电路中一般用弧度作为横轴画波形图）。

波形图中最大值及频率（周期）都比较容易确定，但如何确定初相？首先确定初相的正负：当初始值（t=0时刻，交流电的大小）大于零，波形图中初始值在横轴的上方，则初相大于零；反之，则初相小于零。初相的大小可由波形图中离原点最近的零值点（正弦波形从负值变为正值时与横轴的交点称为零值点）距原点的弧度确定，当初相大于零，离原点最近的零值点在波形图中的左方；反之，离原点最近的零值点在波形图中的右方。如图2-1-2所示正弦电流的初相为2π/3。

3.同频率正弦交流电的相位差

正弦交流电的相位决定正弦量的变化进程，因而可用相位的差别定量地衡量两个同频率正弦量变化进程的差别。

两个同频率正弦量相位的差称为相位差，习惯上规定相位差的绝对值不超过180°。以正弦量u=Umsin（ωt+ψu），i=Imsin（ωt+ψi）为例，用φui表示u与i的相位差，则

φui=（ωt+ψu）-（ωt+ψi）=ψu-ψi　　（2-1-4）

一般规定|φui|≤180°。如果|ψu-ψi|>180°，则应根据正弦函数的周期性，将其中一个的相位加上或减去360°，然后再计算相位差，以保证|φui|≤180°。

可见，两个同频率正弦量的相位差仅与它们的初相有关，而与时间无关，因而也与计时起点的选择无关。

同频率正弦量的相位关系有下列几种情况：

当φui=ψu-ψi>0，u超前于i；当φui=ψu-ψi<0，u滞后于i；当φui=ψu-ψi=0，u与i同相。图2-1-3所示为几种典型相位关系示意图。

4.正弦交流电的有效值与平均值

在工程中，人们有时往往并不关心交流电是如何变化的，而是关心交流电所产生的效果。这种效果常用有效值和平均值来表示。

（1）有效值

有效值是根据电流的热效应来定义的。让交流电流和直流电流分别通过具有相同阻值的电阻元件，如果在同样的时间内所产生的热量相等，那么就把该直流电流的大小称为交流电的有效值，用I表示。由有效值定义得

对于周期性交流电其有效值可写为

将正弦电流的一般式代入式（2-1-5），可得正弦量的有效值为

即正弦量的有效值等于它的最大值除以 ，类似地有

通常说照明电路的电压是220V，就是指有效值，与其对应的交流电压的最大值是311V。各种交流电的电气设备上所标的额定电压和额定电流均为有效值。另外，利用交流电流表和交流电压表测量的交流电流和交流电压也都是有效值。

（2）平均值

所谓平均值指的是周期量的绝对值在一个周期内的平均值。以周期电流为例，其平均值

式（2-1-7）即周期量平均值的定义式。根据定义式，计算出正弦交流电的平均值为

测量交流电压、电流的全波整流式仪表，其指针的偏转角与所通过电流的平均值成正比，而标尺的刻度为有效值，即是按的倍数关系来刻度的。

应用举例——练

【例2-1-1】　已知正弦电压和正弦电流的波形如图2-1-4所示，频率为50Hz，试写出它们的解析式，并指出它们之间的相位差，说明哪个正弦量超前，超前多少度？超前多少时间？

解　ω=2πf=2×3.14×50rad/s=314rad/s

由图2-1-4可得u、i的表达式为

u=310sin（314t+45°）V

i=2sin（314t-90°）A

φ=ψu-ψi=45°-（-90°）=135°

即u比i超前135°，超前时间为

探究实践——做

正弦交流电信号的检测。

参考方案：

①将示波器的幅度和扫描速度微调旋钮旋至“校准”位置。

②通过电缆线，将信号发生器的正弦波输出口与示波器的CH1通道相连。

③接通信号发生器的电源，选择正弦波输出。通过相应调节，使输出频率分别为50Hz、1.5kHz和20kHz（由频率计读出）；再使输出幅值分别为有效值0.1V、1V、3V（由交流毫伏表读出，交流电压表、交流电流表的使用与直流电压表、直流电流表的使用基本一样，只是测交流时不需要注意极性）。调节示波器Y轴和X轴的偏转灵敏度至合适的位置，从荧光屏上读得幅值及周期，记入表2-1-1中。

2.1.2　正弦交流电的相量表示、相量形式的基尔霍夫定律及测试

知识迁移——导

如图2-1-5所示电路，调整低频信号发生器的输出电压U为3V，频率为1kHz。测量RC串联电路中电阻元件两端电压UR及电容元件两端电压UC，这时U≠UR+UC。

问题聚焦——思

●　正弦量的相量表示；

●　相量形式的基尔霍夫定律。

知识链接——学

正弦交流电解析式表示法和波形图表示法，都能简单、直观地反映正弦交流电的三要素，直接求出任一时刻t交流电的瞬时值，但在具体运算时，如图2-1-5所示电路中，由基尔霍夫定律可列u=uR+uC，无论用解析式表示法，还是波形图表示法进行正弦量的加、减运算，都非常烦琐。在电工技术中，常用间接表示法来表示正弦交流电，即相量和相量图表示法。

1.正弦交流电的相量表示法

（1）复数的相关知识

①复数的表示形式：

a.代数形式：A=a+jb。

b.三角形式：A=rcosθ+jrsinθ。其中r为复数A的模（幅值），它恒大于零。两种形式之间的变换：a=rcosφ，b=rsinφ，即

c.指数形式：A=rejθ（利用欧拉公式ejθ=cosθ+jsinθ）。

d.极坐标形式：（引入记号）。

复数也可以用复平面上的向量表示，如图2-1-6所示。

②复数的运算：

a.加、减运算：设A=a1+ja2，B=b1+jb2，则C=B±A=（b1+jb2）±（a1+ja2）=（b1±a1）+j（b2±a2），直接用向量的平行四边形法则或多边形法则可进行复数的加、减运算，如图2-1-7所示。

b.乘、除运算：进行复数的乘、除运算时，一般使用复数的极坐标形式比较简单，只需要将复数的模相乘（除），复数的幅角相加（减）就可以了。

设，则

（2）共轭复数

设复数，则其共轭复数为。

2.正弦量的相量表示

（1）相量表示正弦量的思想

一个正弦量由三要素来确定，分别是频率、幅值和初相。因为在同一个正弦交流电路中，电动势、电压和电流均为同频率的正弦量，即频率是已知或特定的，可以不必考虑，只需确定正弦量的幅值（或有效值）和初相位就可表示正弦量。

一个复数的四种表达方式均要用两个量来描述，不妨用它的模代表正弦量的幅值或有效值，用幅角代表正弦量的初相，于是得到一个表示正弦量的复数，称为相量，用大写字母上面加一点表示，如。

（2）相量表示正弦量的几何意义

如图2-1-8所示，假设以角速度ω（等于正弦量i的角频率）绕原点逆时针方向旋转，旋转的轨迹在虚轴上的投影乘以即为正弦量i，从这个意义上讲，对应一个相量就能找到与之对应的正弦量，反之亦然。

可以推证，对于同频率的正弦量，用相应的相量表示正弦量进行计算的结果与用正弦量计算的结果一致。如，则，那么相应有。

（3）相量表示正弦量的法则

正弦量相量可以用最大值相量或有效值相量表示，通常采用有效值相量表示。

正弦量与其对应的正弦量之间的关系可以用如下法则表示

如，其对应的相量为，若某电压的相量为，则对应的正弦电压为。

3.相量图

将一些相同频率的正弦量的相量画在同一个复平面上所构成的图形称为相量图。画相量图时，往往省略复平面坐标，以水平方向为基准，并用虚线表示。

（1）画法

每个相量用一条有向线段表示，其长度表示相量的模（正弦量的有效值），有向线段与水平方向的夹角表示该相量的辐角（初相），同一量纲的相量采用相同的比例尺寸。

（2）作用

①能直观地反映各正弦量的有效值和初相。

②能反映正弦量的相位关系：相量图中任一两相量间的夹角表示该两正弦量相位差，逆时针方向在前的量为超前。

③将正弦量的有效值关系、相位关系的运算转化为相量图中相量的边与角关系的运算。

（3）注意

①相量只表示正弦量，而不等于正弦量。

②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。

③相量的两种表示形式：相量式、相量图。

④只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。

4.相量形式的基尔霍夫定律

基尔霍夫定律一般表达式为∑i=0及∑u=0，式中的i、u是指电流、电压的解析式。正弦交流电路中当电源的频率一定时，电路中各元件的电压、电流也都具有与电源相同的频率，由此出发，可以得出基尔霍夫定律的相量形式。

在正弦交流电路中，流过任一节点的各相量电流的代数和等于零，即

这就是基尔霍夫电流定律的相量形式。同理可得基尔霍夫电压定律，即回路电压定律的相量形式为

式（2-1-10）表示在正弦交流电路的任一回路中，各电压相量的代数和等于零。

式（2-1-9）与式（2-1-10）的符号法则与直流电路相同。

在正弦交流电路中，使用相量形式的基尔霍夫定律时，除相量电压、电流相量前的正负号确定与直流电路中讨论的完全相同，还要特别注意，相量表达式中既含有有效值的关系，还含有相位的关系。在一般情况下，各正弦电压、电流的有效值代数和不等于零。

应用举例——练

【例2-1-2】　图2-1-9（a）所示为电路中的一个节点，已知sin（ωt+30°）A，，求i3。

解　此题用相量法，将已知电流瞬时值用相应的相量表示，由正弦量相量表示法可得；，列KCL方程，解得

图2-1-9（b）所示为三个电流的相量图。从相量图中可以看到，有效值一般情况下不满足KCL，即I3=I1+I2不成立，除非I1和I2同相。

探究实践——做

在面包板上按图2-1-10所示连接电路，测试并联电路各支路电流，思考所测得的结果。