1.2 期权的定价基础

1.2.1 B-S期权定价模型的背景

如前所述，期权的权利金由标的资产价格、标的资产波动率、合约到期期限、行权价、无风险利率、股息等因素综合决定。但是这些因素对期权价格的影响过程需要更明晰的量化呈现，即定价的具体逻辑。Black-Scholes期权定价模型（简称B-S期权定价模型）是全球金融市场最被广泛认可的一种定价逻辑。

B-S期权定价模型最早是由费舍尔·布莱克（Fisher Black）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）两位经济学家在1973年发表的一篇论文中提出的。为纪念他们的功绩，该定价模型以他们的名字命名。B-S期权定价模型的诞生，奠定了现代期权定价的理论基础。该模型是基于无风险套利机会的假设，同时回避关于个人风险偏好和由市场均衡价格结构的限定性假设所发展的期权定价均衡模型。虽然B-S期权定价模型存在一些瑕疵，但其在全球期权、互换等衍生品市场40余年的发展过程中，已然得到了最广泛的检验和认同。

1.2.2 B-S期权定价模型的理论假设条件

B-S期权定价模型的理论假设条件列举如下。

➢ 期权标的资产价格的运动过程符合对数正态分布模式。

➢ 在期权有效期内，无风险利率和期权标的资产的波动率恒定。

➢ 市场不存在税收和交易成本，所有标的资产都是高度可分的，即市场无摩擦。

➢ 期权标的资产在期权有效期内无红利及其他所得（该假设在后来的模型优化中被放弃）。

➢ 市场允许使用全部所得进行卖空标的资产衍生品的操作。

➢ 期权在到期前不可提前实施行权结算，即属于欧式期权。

➢ 市场中不存在无风险套利机会。

➢ 期权标的资产的交易是连续的。

➢ 投资者能够以无风险利率进行资金拆入/拆出。

1.2.3 B-S期权定价模型的理论推导

在上述理论假设条件的前提下，对B-S期权定价模型的理论推导做简单描述。

➢ 衍生品与标的资产价格不确定性的来源相同。

➢ 通过构造期权标的资产与其衍生品的组合来消除这种不确定性。

在B-S期权定价模型假设下，期权标的资产的随机过程如下：

dS=μSdt+σSdz

其中，S表示标的资产价格，μ表示标的资产的漂移率，σ表示标的资产的波动率，z表示均值为0，t是标准布朗运动下的方差。

假设f是基于S的某个衍生资产的价格，根据著名的伊藤公式（Ito Formula）有

如果构造一个投资组合，卖空一份衍生证券，同时买入份股票，那么整个组合的价值（用Π表示）公式如下：

于是投资组合的价值公式变为

由于投资组合Π的价值变动仅与时间dt有关，因此该组合成功消除了dz带来的不确定性。根据无套利定价原理，该投资组合的收益率应等于无风险利率r，公式如下：

最终得到以下微分方程：

从公式可知，任意依赖于标的资产S的衍生品价格f都满足以上微分方程。欧式认购期权的边界条件为

C(0,T)=0

C(S,T)=Max(S-K,0)

其中，C表示欧式认购期权价格，K为行权价，T为期权到期剩余时间。在以上边界条件下解这个微分方程，就得到了B-S欧式认购期权的定价模型公式：

C=SN(d1)-Ke-rTN(d2)

其中，

σ为标的资产价格的年化波动率，即年化收益率的标准差；N（x）为标准正态分布变量的累积概率分布函数，且根据标准正态分布函数特性，有N（-x）=1-N（x）。

根据欧式认购期权和认沽期权之间C-P=S-Ke-rT的平价关系，在上述公式基础上，可以很容易得到欧式认沽期权的定价公式：

P=C+Ke-rT-S=Ke-rTN(-d2)-SN(-d1)

其中，P表示欧式认沽期权的价格。

1.2.4 B-S期权定价模型的延伸

1.标的资产支付股息的情况

B-S期权定价模型只解决了不分红股票的期权定价问题，另一位金融数学巨匠莫顿（Merton）拓展了B-S模型，使其可以运用于支付红利的期权。

存在已知的不连续红利：假设某标的资产在期权有效期内某时间t（除息日）支付已知红利D（t），只需要先将该红利现值从股票现价S中除去，再将调整后的股票价值S代入B-S期权定价模型中即可：S＇=（S-D（t））e-rt。如果在有效期内存在其他红利所得，可按照该方法一一减去。从而将B-S期权定价模型变形得到新公式：

C=[S-D(t)]e-rtN(d1)-Ke-rTN(d2)

P=Ke-rTN(-d2)-[S-D(t)]e-rtN(-d1)

存在已知的连续红利：当标的资产收益率为按连续复利计算的固定收益率q时，只要将Se-qT代替上述公式中的[S-D（t）]e-rt，就可以求出支付连续复利收益率资产的欧式认购和认沽期权的价格，公式如下：

C=Se-qTN(d1)-Ke-rTN(d2)

P=Ke-rTN(-d2)-Se-qTN(-d1)

2.B-S期权定价模型的弊端

尽管B-S期权定价模型的影响力巨大，但也应当知晓该模型存在的一些弊端。

B-S期权定价模型的弊端源于其基础的假设与实际金融市场的状态不符，具体有如下几点：

➢ B-S期权定价模型假设期权标的资产价格运动过程符合对数正态分布模式，但实践中的金融资产价格运动过程往往是尖峰后尾的类正态分布模式。

➢ B-S期权定价模型假设在期权有效期内无风险利率和期权标的资产的波动率变量恒定，但实践中两者皆不恒定，特别是标的资产波动率的时变性更强。

➢ B-S期权定价模型假设市场不存在税收和交易成本，所有标的资产都是高度可分的，即市场无摩擦，但实践中不可能存在市场无摩擦的情况，交易费用、流动性冲击皆是现实问题。

➢ B-S期权定价模型假设市场允许使用全部所得进行卖空标的资产衍生品的操作，但在实践中存在较多问题，特别是国内金融市场做空机制相对做多机制依然缺失较多。

在笔者的实践中，上述弊端造成了B-S期权定价模型在虚值期权定价、高波动时期期权定价、远期期权定价方面有一定误差。在本书进阶篇会结合实践针对这部分内容展开讨论，这里仅简单概述。

3.美式期权的定价

在标的资产无分红的情况下，美式认购期权价格与欧式认购期权价格相等，因此前文认购期权定价公式同样适用于美式认购期权的价格定价。由于美式认沽期权与认购期权之间不存在严密的平价关系，因此目前还未找到一个精确的解析公式来对美式认沽期权进行定价，主流的方法是用二叉树模型、BAW模型、蒙特卡洛模拟等得出美式期权的数值解。