2.3.1　直角坐标显式表达举例

以较为一般的泛函为例，其定义在一元函数所在的空间上．函数y=y∗（x）是所要寻求的“极小点”，它是泛函

的“极小点”．其中的函数F关于变量有足够的可微性，如连续可微．泛函定义在如下连续可导函数集合上：

DF={y∈C1[a, b]，y（a）=A, y（b）=B}

对于任意的函数y（x），泛函值Ly≥Ly∗．这里引入摄动函数

h（x）：=y（x）-y∗（x）

满足

h（a）=h（b）=0

在此基础上，看泛函值的变化

上面最后一个等号用到了分部积分和摄动函数的齐次边界条件h（a）=h（b）=0．

根据极值点，也就是驻点的必要条件

即

再利用定理1.5，同时注意摄动函数h（x）的任意性，可以得出

此即“极小点”y=y∗（x）满足的必要条件，通常称为欧拉－拉格朗日（Euler-Lagrange）方程．

将式（2-15）用于前文的最速下降线问题．

例2.1　最速下降线问题的解（即质点下降的曲线）满足

解　回顾最速下降线所满足的泛函式（2-4）及其边界条件式（2-5），有

（注意，这里不含变量x）

得到欧拉－拉格朗日方程

具体讨论求解．两边乘以函数导数y′得出

得到首次积分

通分之后，令得到

根据微积分知识，可以将导数y′理解成曲线切线的斜率，所以记y′=tanθ，这里的θ就是曲线切线与x轴正向夹角．从式（2-17）得出

代入y′=tanθ，就有

积分后得出

式中，C2为积分常数．引入变量π-t替换2θ，化简式（2-18）和式（2-19），并结合y（0）=0的边界条件

最后可以通过条件y（X）=Y确定式（2-20），这里略去．或者记r=C/2即可得到式（2-16）．式（2-16）或者式（2-20）就是最速下降线满足的曲线方程，如图2-1所示．