| 第一章 |
不自觉的数学家

回到巴黎，我决定从位于城市中心位置的卢浮宫博物馆开始我们的征程。在卢浮宫搞数学？这看上去可能不太搭调。这座曾经的皇家宫殿、如今的博物馆，看上去是画家、雕塑家、考古学家或者历史学家的领地，总之不会是数学家。然而，我们就是要在这里重新建立一种新的“第一印象”。

来到卢浮宫，我看到了屹立于拿破仑庭院中心巨大的玻璃金字塔，这似乎就是一封来自几何学的请柬。但是今天，我和更古老的上古时代有个约会。我走进博物馆，时间机器正式开启。我从法兰西的国王们面前逐一经过，又掠过文艺复兴时期和中世纪，最后回到了遥远的古希腊时代。一个展厅接着一个展厅，我看见了古罗马时期的雕塑、古希腊花瓶和古埃及的石棺。我还要再回到更久远的过去，于是，我终于进入了史前史时期。后退了这么多个世纪，我必须逐渐忘掉所有的事情。忘掉数字，忘掉几何学，忘掉文字。在最初的最初，没有人知道任何事情，也没有什么东西是需要被知道的。

首先，让我们回到1万年前，驻足于美索不达米亚。

其实仔细想想，我应该还能回到更久远的过去。让我再继续后退，退回150万年前，回到旧石器时代的初期。在这个阶段，原始人类还没有学会用火，所谓的“智人”根本还是天方夜谭。此时的世界由亚洲和非洲的直立人统治，或许还有一些尚未被考古发现的直立人的亲戚。这是石器的时代，“手斧”正流行。

在营地的一个角落里，琢磨匠人们正在工作。其中一人拿起了一块没有被打磨过的燧石，是他几小时之前收集起来的。他坐在地上（可能是盘腿而坐），将这块燧石放在地面上，一只手固定住这块燧石，另一只手握住另一块大质量的石头，用它敲击燧石的边缘，一块碎片应声而落。他看到了碎片，然后转了转手里的燧石，再次敲击另一侧的边缘，使燧石的边缘形成锋利的棱脊。剩下的就是在整个轮廓上重复操作了。在某些部位，燧石太厚或者太大了，所以需要削掉很大一块，来达到匠人最终想要实现的效果。

“手斧”形状的出现，既不是巧合，也不是灵光一闪。它是经过一代又一代古人的思考、琢磨、传承而最后实现的。我们发现了好几种不同类型的手斧，随着所处时期和发现地点的不同而有所区别。有一些是具有凸出尖端的水滴形；另外一些更浑圆的，看上去像是蛋形；还有一些几乎没有圆角，更接近等腰三角形。

然而无论是哪种手斧，都有着一个共同点：对称。到底是因为这种几何构造的实用性，还是仅仅出于某种审美意图，促使我们的老祖宗们坚持使用这种构造呢？今天的我们很难弄清楚这一点。可以肯定的是，这种对称不可能是一个巧合。琢磨匠人应该预先设计好了自己的打磨计划，在完成手斧之前就考虑好了形状。对于要被打磨的燧石，他们在头脑中构建了一个抽象的形象。换句话说，他们在脑海中“搞数学”。

当这位琢磨匠人最终完成这个手斧之后，他会仔细观察这件新工具——伸直手臂，将手斧置于光线下，更好地观察它的轮廓，在某些锋利边缘处敲掉两三小块碎渣来完善手斧的形状，最终，他得到了一件满意的作品。这一刻，他的感受会是怎样的呢？他是否已经感觉到了这种由科学创造带来的巨大的喜悦之情？即从头脑中的一个抽象概念出发，理解和塑造外部的世界。不管怎样，抽象概念被发扬光大的时刻，此时还没有到来。这时还是实用主义大行其道的时期——手斧可以用来砍树、割肉、在毛皮上钻洞，以及挖地。

好吧，其实我们并不是要在这个问题上做进一步的研究。毕竟这些对于史前史的阐释看上去都太不靠谱，就让这些古老的时代在历史中继续沉睡吧，而我们则回到我们的冒险的真正起点：公元前8000年的美索不达米亚平原。

在新月沃土上，有一块区域，在未来我们将称其为伊拉克，此刻正在进行着新石器时代的革命。自古以来，人类就在这一地带定居。在北部高原，游牧民族成功地安定了下来。这个地区可以算作是所有最新发明的“实验室”。由未烧制加工的泥砖生坯搭建成的房屋形成了人类历史上的第一批村落，最有干劲儿的一批建造者甚至还盖起了小楼。此时的农业是一种先进的技术，温和的气候使得非人工灌溉的农作物的生长成为可能；动植物逐渐地被驯化；陶器的出现也正在萌芽之中。

嘿，好吧，那就让我们来聊一聊陶器吧！因为，虽然这一时期的很多证据都消失了，不可挽回地散佚在了时光的隧道中，但是考古学家们还是发掘出了数千件陶器：陶盆、花瓶、罐子、盘子、陶碗……在我周围的玻璃橱里，塞满了各种陶器。最古老的陶器可以追溯到9000年以前，从一个展厅到另一个展厅，好像有“小拇指”的小石子[1]引路一般，带领我们穿越若干个世纪。陶器形状各异，大小不一，它们的装饰、塑形、彩绘或者雕花也都不一样。有一些陶器有“脚”，有一些陶器有手柄。有的陶器完整，有的布满裂痕，有的碎裂，有的是重新修复的。有一些陶器，却只剩下一些零星的残片。

陶器是火的最初艺术品，随后才是青铜、铁和玻璃。使用黏土——这种具有可塑性的、能够在潮湿的地区大量获取的泥土，陶工能够随心所欲地塑造自己的作品。当陶工塑造出满意的形状之后，只需要将生坯风干几天，然后送入窑中烈火烧制，就能使整件陶器定型。人类掌握这种技术的时间已久。早在2万多年以前，人类已经在用这种方法烧制小型陶像。然而，直到近来，伴随着游牧民族的定居，人们才开始烧制日常生活中经常使用的陶器。新的生活方式需要存储的工具，于是人们烧制出了两臂环抱那么大直径的罐子！

这些陶土容器迅速成了日常生活的必需品，以及村庄集体组织的必要用品。接下来，人们开始制作各种耐用的餐具，不管造型好不好看。不久之后，陶器上出现了装饰；又过了一段时间，开始出现了不同的制作流派。有些匠人在陶器生坯还未风干的时候，用贝壳或者树枝在上面印刻花纹，然后再送入窑中烧制；有一些匠人先烧制风干的陶器，然后再用石器雕刻出花纹；还有一些匠人喜欢在陶器外侧刷上一层天然的染色涂料。

我一一走过东方古文物部分的展厅，由美索不达米亚人设计的、丰富的几何图形让我感到惊奇。正如我们的祖先用石头精心琢磨出手斧一样，这些对称性实在是太精巧了，不可能是未经过深思熟虑的随性之作。其中，花瓶边缘一周的“腰线”尤其引起了我的注意。

所谓“腰线”，就是一种带状的、围绕着整个罐子外侧一周的装饰花纹，表现为同一种纹样的不断重复。在所有常见的腰线中，有三角形锯齿状花纹，还有由相互缠绕的两条花纹构成的腰线，然后是人字交错的腰线、方形雉堞状的腰线，以及带尖斜方形、打了阴影线的三角形、同心圆……

当你从一个地区的展品看到另一个地区的展品，或者从一个时期看到另一个时期，你就能发现一些模式：有一些花纹非常流行，它们被不断地使用、变形，通过多种方式被改善。然后，几个世纪过去，这些模式被“淘汰”了，被另外一些当时流行的花纹取代。

一路看下去，然后我作为数学家的灵魂被点亮了。我看到了对称、旋转、平移。然后在大脑中，我开始分类、整理。我多年来研究的几个定理浮现在脑海中，而我需要的，正是几何变换的分类。我拿出笔记本和铅笔开始涂抹起来。

首先，是几何图形的旋转。在我面前的，正好就是一条由“S”形花纹前后嵌套构成的腰线。我歪了一下脑袋，确认了一下。是的，没错，这是一个“倒转不变”的图案：如果我把这个水罐头朝下倒着放，腰线的花纹还是和之前一模一样。

其次，是对称性。这个腰线中，存在着好几种对称性。渐渐地，我完成了我的列表，“寻宝”正式开始。对于任意一种几何变换，我都会寻找与其对应的腰线。于是我在这些展厅之间走来走去。有一些陶器是损坏的，于是我眯着眼睛，试图在脑海中重构这些来自几千年前的陶器上绘制的花纹。当找到一个新的几何变换时，我就打一个钩，然后确认陶器制作的日期，试图重建一份陶器外观的年表。

最终我能发现多少种几何变换呢？经过一番思考，我成功地在脑海中找到了那个关于几何变换的著名定理，而我最终也找到了全部7种类型的腰线。7组不同的几何变换可以让花纹保持不变。一种也不多，一种也不少。

当然了，美索不达米亚人并不知道这一点。因为很显然，问题中所涉及的原理要一直到文艺复兴时期才会被提出来！然而，无心插柳，他们甚至原本只是故意用一些和谐又新颖的花纹来装饰自己的陶器，然而这些上古时期的陶器制作者们其实已经开始构建一门美妙学科的最初论据，影响和激荡了几千年后的整个数学家群体。

而此时，我盯着手里的笔记本，几乎把7种几何变换都找全了。几乎？因为还有一种腰线我始终没有找到。我对此稍微有些期待，因为很显然，这种几何变换是列表当中最复杂的一种。我要寻找的是这样一种腰线，即如果我们将它水平翻转，它看上去和之前是一样的，只是所有花纹都向后错了半个身位。今天，我们称其为“滑移对称”。对于我们的美索不达米亚前辈们来说，这可真是个不小的挑战！

然而，我还远远没有逛完所有的展厅，所以还远不到丧失信心的时候。我继续耐心寻找，观察每一个细节，琢磨每一条线索。我之前已经观察到的另外6种类型，一次次地重复出现。在我的笔记本上，日期、简图和其他涂鸦逐渐混作一堆。尽管如此，我依然没有发现第7种几何变换的蛛丝马迹。

突然，我感到肾上腺素在体内蹿升。在一扇玻璃窗后面，我看到了一块小得可怜的、简单的碎片。然而，从上到下，一共有四条腰线，虽然不完整，但是清晰可见，它们彼此重叠在一起。其中一条腰线突然引起了我的注意，这是从上往下数的第三条。它是由一组倾斜的长方形碎片构成的，彼此呈“人”字形交错相嵌。我眨了眨眼睛。经过仔细的观察，我迅速地在笔记本上勾勒出了这种花纹，似乎晚一秒钟这些花纹就会消失。几何学是正确的。这的确是一种滑移对称。第7种腰线终于初露峥嵘。

这件陶器碎片旁边的说明卡片上写道：平底大口杯碎片，上有直线与带尖斜方形构成的水平装饰花纹——公元前4500年左右。

我将“公元前4500年左右”这个时间点放入脑海里的编年表中。当时的人类依然处于史前时期，但在文字被发明的1000多年以前，美索不达米亚的陶器匠人们已经在无意中完成并展示了一个定理中所有被枚举出来的对象，而这个定理6000年之后才会被论述和证明。

又过了几个展厅，我看见了一只三手柄陶罐，它的花纹也可以被归类到第7种几何变化中：即使花纹被螺旋旋转，其几何结构依然保持不变。在不远的地方，还有另外一个例子。我还想继续参观下去，但是突然场景变了，东方古文明的展览到此结束。如果继续朝前走，我就会进入古希腊展厅。我最后看了一眼笔记本，到此为止，滑移对称腰线的数量刚好凑满一只手的手指数。可真惊险哪（差点儿找不到）！

如何辨识7种类型的腰线？

第1种类型的腰线……没有什么特别的几何学特质。简单地说，就是没有对称或者中心旋转的、一直重复的花纹。这种类型尤其被应用在那些不是由几何图形构成，而是由形象的图画花纹——比如说动物——构成的腰线上。

第2种类型的腰线可以由一条水平线一分为二，上下对称，这条线即对称轴。

第3种类型的腰线具有垂直对称的轴线。因为这种腰线是由同一种花纹在水平方向上不断重复构成，垂直的对称轴线也相应地跟着不断重复。

第4种类型的腰线，如果旋转半周依然保持原状。无论你是正常地看这些腰线，还是大头朝下看这些腰线，看到的始终都是一个样子。

第5种类型的腰线，就是滑移对称的腰线。也就是我在美索不达米亚展区最后发现的腰线。如果你沿着水平方向（也就是第2类中的那种对称轴）将这种腰线翻转，得到的腰线与原来的相似，但是每个花纹都向后错了半个身位。

第6种和第7种类型的腰线对应的，并不是其他新类型的几何变换，而是结合了之前提到过的几种腰线的属性。因此，第6种类型的腰线，就是那些同时具有水平对称轴、垂直对称轴和半周旋转中心的腰线。

第7种类型的腰线，具有垂直对称性、中心对称性和滑移对称性。

值得注意的是，这些分类只与腰线的几何结构有关，不包括花纹的形状可能产生的变化。因此，下面的这些腰线，虽然各不相同，但都属于第7种类型的腰线。

因此，所有我们能够想象出来的腰线，都属于以上七种类型之一，任何其他的组合在几何学上都是不可能的。奇怪的是，后两种类型的腰线是最常见的。人们似乎自然而然地感到，绘制具有多重对称性的图画比绘制对称性相对较少的图画要容易一些。

在美索不达米亚展厅的成功让我信心爆棚，于是我做好准备第二天杀回来再向古希腊的展厅发动“进攻”。可是第二天，我才刚刚走入古希腊展厅，就发现自己不知道该怎么办了。在古希腊展厅，搜索腰线的过程简直轻而易举。我只是稍微走了几步，浏览了几个橱窗，观察了几个黑底红纹的双耳尖底瓮，就已经找齐了名单上的7种腰线。

在这样丰富的资源面前，我很快就放弃了我那小小的统计——就是我之前在美索不达米亚展厅做的那种。古希腊艺术家们的创造力让我震撼，更复杂、更巧妙的新花纹不断地涌现。有好几次，我不得不停下脚步，集中精神观察，好在头脑中解开这一团围绕在我四周的、拧在一起的“乱麻”。

在房间的一角，一只绘有红色纹样的双耳长颈高瓶惊艳得让我说不出话来。

所谓的双耳长颈高瓶，就是一种长长的水瓶，有两个把手，它的作用是运送洗澡水，所以差不多有一米来高。瓶身上画满了腰线，于是我开始按照类型来给它们分类。1、2、3、4、5……在几秒钟之内，我就确定了7种腰线类型中的5种。瓶子是靠墙放着的，但是我俯身过去仔细观察，能够看见在靠墙一侧的瓶身上绘制了第6种类型的腰线。现在只缺一种了，如果能找到，那就太完美了。出乎意料的是，缺少的那一种并不是昨天我差点儿没找到的那种腰线。时代变了，流行趋势也变了，我没找到的类型不是滑移对称，而是垂直对称、中心对称和滑移对称三者结合的那种。

我疯狂地寻找，仔细观察着这只水瓶的每一个角度，没有找到。我有点儿失望，就在快要放弃的时候，我的目光落在了一处细节上。瓶身的中间部分绘制了两个人物之间的场景，打眼一看，这个地方似乎并没有腰线。然而，在这幅画的正下方，我注意到了这个：在这两个中央人物的下方，绘制着一只水瓶——一只绘制在水瓶上的水瓶！这种画中画的嵌套让我不由得露出微笑。于是我眯起眼睛仔细观察，“瓶上瓶”的形象有些模糊，然而毫无疑问，这只绘制在水瓶上的水瓶身上也有一条腰线，并且奇迹般地，正是我没有找到的第7种！

尽管一再努力，但是我没有找到另外一件像这只水瓶一样花纹特殊的陶器。这只双耳长颈高瓶似乎是卢浮宫的同类藏品中独一无二的：只有在它身上，出现了全部7种类型的腰线。

而在不远的地方，另一个惊喜正等待着我。三维立体腰线！此前，我一直以为，立体透视效果是文艺复兴时期的发明。艺术家巧妙地通过绘制出阴影区和光亮区实现光与影的游戏，给围绕在巨大陶器的圆周之上的几何形状提供了一种立体效果。

我越往前走，就遇到了越多的问题。有一些陶器上，出现的不是“腰线”，而是“密铺”（即平面填充）。换句话说，几何形状不再仅仅是形成一条细细的“腰线”环绕陶器一周，而是遍布整个陶器的外部表面，因此，几何组合的可能性也就成倍增长了。

在古希腊展厅之后，是古埃及展厅、古伊特鲁里亚展厅和古罗马展厅。在这里，我发现了石头雕刻的梦幻花纹。石头上的纹路彼此交织，上上下下相互穿插，形成了一张完美的、规则的网络。然后，好像怎么也看不够似的，我很快发现自己居然在观察卢浮宫本身。它的天花板，它的方砖贴面，它的门框……一直到回家的路上，我还感觉自己根本停不下来。在街上，我一路观察建筑物的阳台、路过行人衣服上的花纹、地铁走廊里的墙壁……

只要改变自己看世界的眼光，数学就会在你眼前出现。寻找数学是迷人的、永无止境的过程。

而我们的冒险，才刚刚开始。

[1] 译注：“小拇指”的故事是法国历史上口口相传的童话故事。1697年，法国作家夏尔·佩罗整理了包括《小拇指》在内的一系列童话故事，包括《睡美人》《小红帽》《蓝胡子》《灰姑娘》等，组成了《鹅妈妈的故事》出版。在童话《小拇指》中，“小拇指”是樵夫家最小的孩子，出生时只有指头大小，被取名“小拇指”，后来他被家人遗弃，靠口袋里装的一把小石子在路上留下标记才走出了黑暗的森林。