3.4.2 横滚控制系统的传递函数

在合理假设下，对稳定水平飞行状态下导弹的模型进行线性化处理，可以得到导弹的倾斜角输出值ϕ（s）与副翼偏转角度δ_a（s）之间的传递函数为

其中，参数c₀、b₀、b₁、d₀、e₀、f₀、f₁，以及增益k，都是由稳定性派生出来的复杂函数，而稳定性又与飞行条件和导弹配置密切相关，因此它们会随着导弹型号的不同而不同，横滚和偏航之间的耦合关系可由式（3-80）表示。

导弹的侧向运动（横滚和偏航）有3种主要模式，分别为荷兰滚模式、盘旋模式和衰减横滚模式。荷兰滚模式兼有横滚和偏航运动，处于该模式时，导弹的质心运动轨迹几乎为一条直线，方向舵脉冲能够激发这种模式。盘旋模式以偏航运动为主，横滚运动的比重较小，这种模式通常比较轻微，但也有可能导致导弹进入危险的大角度盘旋俯冲状态。衰减横滚模式几乎是纯粹的横滚运动。本节主要针对衰减横滚模式设计控制器。在传递函数式（3-80）中，分母包含了一个积分环节、两个一阶环节和一个二阶环节，其中一阶环节分别表征了盘旋模式和衰减横滚模式，二阶环节表征了荷兰滚模式。该传递函数表明，横滚运动和偏航运动是耦合在一起的。传递函数式（3-80）中，极点s=-d₀，与盘旋模式相关；极点s=-e₀，与衰减横滚模式相关，而且通常有e₀＞＞d₀。而s2+f₁s+f₀环节对应的共轭复极点则与荷兰滚模式相关。

当导弹攻角较小（处于稳定水平飞行状态）时，荷兰滚模式环节s2+f₁s+f₀通常可以近似地消掉传递函数分子中的s2+b₁s+b₀项。该近似处理所用的假设条件与已有的假设条件是一致的。此外，由于盘旋模式的主要成分为偏航运动，与横滚运动只有轻度耦合，因此可以在传递函数中忽略盘旋模式环节。零点s=c₀表示由于受地球引力的影响，导弹横滚时可能出现侧滑。由于在低速横滚机动中，允许积累一定的侧滑，可以假定侧滑较小，或者为零，从而忽略零点s=c₀的影响。因此，可将式（3-80）简化处理，得到单自由度的传递函数模型：

此处，取e₀=1.4，增益k=11.4。衰减横滚模式的时间常数τ=1/e₀=0.7s，表明导弹有较快的横滚响应。

通常采用式（3-82）所示的一阶传递函数作为副翼执行机构的模型：

其中，e（s）=ϕ_d（s）-ϕ（s），取参数p=10，对应的时间常数τ=1/p=0.1s，这是执行机构能够快速响应的典型参数取值，以便保证由主动控制产生的动力学响应，能够在系统的整个响应中占主导地位。较慢执行机构的时延将使导弹的性能或者稳定性出现问题。

为实现高精度仿真，还须为陀螺仪建立精确的数学模型。导弹上使用的陀螺仪一般具有非常快的响应速度。采用与前面一致的假设条件，忽略陀螺仪的动力学特性，认为陀螺仪（传感器）能够精确地测量导弹的倾斜角。于是，陀螺仪的数学模型就是单位传递函数，即

至此，导弹横滚控制系统的物理模型可由式（3-81）～式（3-83）给出。

选取比例控制器作为横滚运动的控制器，即有G_c（s）=K，从而可以得到如图3-39所示的系统结构框图。