3.2.1 稳定性的概念与稳定判据

稳定性的概念可由图3-23说明。考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，若将它稍微倾斜，外作用力撤去后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来状态。而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以受到任何极微小的扰动后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态了。

根据以上讨论，可以将系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离正常工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。

由第3.1节的讨论可知，系统的响应由稳态响应和瞬态响应两部分组成。输入量只影响稳态响应项，而系统本身的结构和参数，决定系统的瞬态响应项。瞬态响应项不外乎表现为衰减、临界振荡和发散三种情况之一，它是决定系统稳定性的关键。由于输入量只会影响到稳态响应项，并且二者具有相同的特性，即如果输入量r（t）是有界的，即

|r(t)|＜∞,t≥0

则稳态响应项也必定是有界的。这说明对于稳定性的讨论可以归结为，系统在任何一个有界输入的作用下，其输出是有界的问题。

一个稳定的系统定义为，在有界输入的作用下，其输出响应也是有界的。这称为有界输入有界输出稳定，简称BIBO稳定。

线性闭环系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位置予以确定。如果单输入单输出线性系统由下述微分方程描述，即

则系统的稳定性由上式左端决定，或者说系统稳定性可由齐次微分方程式

来分析。这时，在任何初始条件下，若满足

则称系统是稳定的。

为了决定系统的稳定性，可求出式（3-49）的解。由数学知识可知，式（3-49）的特征方程式为

设该式有k个实根-p_i（i=1，2，…，k），r对共轭复数根（-σ_i±jω_i）（i=1，2，…，r），k+2r=n，则式（3-49）的通解为

其中，系数A_i、B_i、C_i由初始条件决定。

从式（3-52）可知：

（1）若-p_i＜0，-σ_i＜0（极点都具有负实部），则式（3-50）成立，系统最终能恢复至平衡状态，所以系统是稳定的。但由于存在复数根的ω_i≠0，系统的运动是衰减振荡的；若ω_i=0，则系统的输出按指数曲线衰减。

（2）若-p_i或-σ_i中有一个或一个以上是正数，则式（3-50）不满足。当t→∞时，c（t）将发散，系统是不稳定的。

（3）只要-p_i中有一个为零，或-σ_i中有一个为零（有一对虚根），则式（3-50）不满足。当t→∞时，系统输出或者为常值，或者为等幅振荡，不能恢复原平衡状态，这时系统处于稳定的临界状态。

由上述分析，可以得出如下结论：

线性系统稳定的充分必要条件是所有特征根均为负实数，或具有负的实数部分。

由于系统特征方程的根在根平面上是一个点，所以上述结论又可以这样说：线性系统稳定的充分必要条件是所有特征根均在根平面的左半部分（见图3-24）。

又由于系统特征方程的根就是系统的极点，所以系统稳定的充分必要条件就是所有极点均位于S平面的左半部分。

表3-4列举了几个简单系统稳定性的例子。需要指出的是，对于线性定常系统，由于系统特征方程的根是由特征方程的结构（方程的阶数）和系数决定的，因此，系统的稳定性与输入信号和初始条件无关，仅由系统的结构和参数决定。

如果系统中每个部分都可用线性常微分方程描述，那么当系统是稳定时，它在大偏差情况下也是稳定的；如果系统中有的元部件或装置是非线性的，经线性化处理后可用线性化方程来描述，那么当系统是稳定时，只能说这个系统在小偏差情况下是稳定的，而在大偏差时不能保证系统仍是稳定的。

上述提出的判断系统稳定性的条件是根据系统特征方程的根，假如特征方程的根能够求得，系统的稳定性自然能够断定。但是，要解四次或更高次的特征方程式，是相当麻烦的，往往需要借助数字计算机。因此，有人提出了在不求解特征方程式的情况下，确定特征方程根在S平面上分布的方法。

1.系统稳定性的初步判别

已知系统的闭环特征方程为

其中，所有系数均为实数，且a_n＞0，则系统稳定的必要条件是系统特征方程的所有系数均为正数。

根据这一原则，在判别系统的稳定性时，可首先检查系统特征方程的系数是否都为正数，假如有任何系数为负数或等于零（缺项），则系统就是不稳定的。但是，如果特征方程的所有系数均为正数，并不能肯定系统是稳定的，还要做进一步的判别。因为上述原则只是系统稳定性的必要条件，而不是充分必要条件。

2.劳斯判据

这是1877年由劳斯提出的代数判据。

（1）如系统特征方程式：

D(s)=a_nsn+a_n-1sn-1+…+a₁s+a₀=0

设a_n＞0，即各项系数均为正数。

按特征方程的系数列写劳斯表：

表中，，，，…

直至其余b_i项均为零。，，，…。

按此规律一直计算到n-1行为止。在上述计算过程中，为了简化数值运算，可将某一行中的各系数均乘以一个正数，不会影响稳定性结论。

（2）考查劳斯表第一列系数的符号。假如劳斯表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假如第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。

（3）两种特殊情况。在劳斯表的计算过程中，如果出现下列两种特殊情况可做如下处理：

①劳斯表中某一行的第一个系数为零，其余各系数不为零（或没有其余项），这时可用一个很小的正数ε代替这个零，从而使劳斯表可以继续运算下去（否则下一行将出现∞）。如果ε的上下两个系数均为正数，则说明系统特征方程有一对虚根，系统处于临界稳定状态；如果ε的上下两个系数的符号不同，则说明这里有一个符号变化过程，则系统不稳定，不稳定的根的个数由符号变化次数决定。

②若劳斯表中某一行（设第k行）的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，且关于原点对称的根。在这种情况下可做如下处理。

● 利用第k-1行系数构成辅助多项式，它的次数总是偶数的；

● 求辅助多项式对s的导数，将其系数构成新行，代替第k行；

● 继续计算劳斯表；

● 关于原点对称的根可通过令辅助多项式等于零求得。

3.劳斯判据的应用

应用劳斯判据不仅可以判别系统的稳定性，即系统的绝对稳定性，还可以检验系统是否具有一定的稳定裕量，即相对稳定性。另外，劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。

（1）稳定裕量的检验。

如图3-25所示，令

即把虚轴左移σ₁。将式（3-54）代入系统的特征方程式，得以z为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴（垂直线s=-σ₁）的右边。如果所有根均在新虚轴的左边（新劳斯表第一列均为正数），则说明系统具有稳定裕量σ₁。

（2）分析系统参数对稳定性的影响。

设一单位反馈控制系统如图3-26所示，其闭环传递函数为

系统的特征方程式为

s3+6s2+5s+K=0

列写劳斯表

若要使系统稳定，其充要条件是劳斯表的第一列均为正数，即

K＞0,30-K＞0

所以，0＜K＜30，其稳定的临界值为K=30。

由此可知，为保证系统稳定，系统的K值有一定限制。但为降低稳态误差，则要求较大的K值，两者是矛盾的。为了满足两方面的要求，必须采取校正的方法来处理。

（3）鉴别延滞系统的稳定性。

劳斯判据适用于系统特征方程式是s的高阶代数方程的场合，而包含延滞环节的控制系统，其特征方程式带有指数e-τs项。若应用劳斯判据来判别延滞系统的稳定性，则需要采用近似的方法处理。

如图3-27所示的延滞系统，其闭环传递函数为

特征方程式为

若采用解析法来分析系统，首先需将指数函数e-τs用有理函数去近似。常用的指数函数近似法如下。

①有限项简单有理函数的乘积近似。

若取n为有限值，则

即用n个具有同一实数极点的有理函数的乘积来近似指数函数。其中，n值的选取与τs值有关，而s是指在分析问题时所感兴趣的S平面中某一区域的值。例如，在稳定性分析时，s的值就是对应于那些在S平面虚轴附近的特征根所在的区域。只要选取的n值使式（3-57）在该区域内成立，则近似分析就是正确的。

②分式近似。

指数函数的泰勒级数为

因此，对式（3-55）所示的特征方程式，令

则

选择q（s）的阶次n比p（s）的阶次m低2阶，使之尽可能少增加特征方程式的次数。

选n=1，m=3，Pade近似式为

设τ=1s，将上式代入式（3-55）得

或

应用劳斯判据可求出K的临界值为1.13，而实际上K的准确值为1.14。所以应用Pade近似式可以不增加分析的复杂程度，仍能保证有较好的近似性。

应用上述分析方法的缺点是：只有应用近似式后，才能确定需要的近似准确度，同时随着近似程度的提高，多项式的阶次也将随之增加，分析会显得愈加复杂。

从上述分析可以看出，因为系统具有延滞性，大大降低了系统的稳定性（当τ=0时，则K为任何正值，系统均能稳定）。