第二节 时域离散系统

数学上可将一个离散系统描述为一种运算符T[·]，输入信号用x（n）表示，输出信号用y（n）表示，它们之间的关系可描述为

时域离散系统可划分为线性系统和非线性系统，这里主要研究线性系统以及线性系统中的非时变系统，即线性非时变系统。这类系统便于分析、研究和实现。

一、线性系统

若某个系统的输入信号和输出信号分别用x₁（n）和y₁（n）来表示，它们之间的关系描述成y₁（n）=T[x₁（n）]。同理，该系统的输入信号为x₂（n）时，输出信号可表示成y₂（n）=T[x₂（n）]，输入信号为ax₁（n）+bx₂（n）时，输出信号可表示成y（n）=T[ax₁（n）+bx₂（n）]。当y（n）与y₁（n）及y₂（n）满足等式y（n）=ay₁（n）+by₂（n）时，该系统称为线性系统。

例2-2 判断下列系统是否为线性系统：

（1）y（n）=T[x（n）]=2x（n）+3

（2）y（n）=T[x（n）]=x²（n）

（3）y（n）=x（n+1）+x（1-n）

解：（1）y₁（n）=T[x₁（n）]=2x₁（n）+3，y₂（n）=T[x₂（n）]=2x₂（n）+3，而

y（n）=T[a x₁（n）+b x₂（n）]=2[a x₁（n）+b x₂（n）]+3≠a y₁（n）+b y₂（n）

因此，该系统为非线性系统。

（2）y₁（n）=T[x₁（n）]=（n），y₂（n）=T[x₂（n）]=（n），而

y（n）=T[a x₁（n）+b x₂（n）]=[a x₁（n）+b x₂（n）]²≠a y₁（n）+b y₂（n）

因此，该系统为非线性系统。

（3）y₁（n）=T[x₁（n）]=x₁（n+1）+x₁（1-n），y₂（n）=T[x₂（n）]=x₂（n+1）+x₂（1-n），而y（n）=T[a x₁（n）+b x₂（n）]=ax₁（n+1）+ax₁（1-n）+bx₂（n+1）+bx₂（1-n）=a y₁（n）+by₂（n）

因此，该系统为线性系统。

二、非时变系统

当输入信号为x（n）时，输出信号用y（n）表示。如果输入为x（n-n₀），输出为y（n-n₀），即y（n-n₀）=T[x（n-n₀）]，这时，称该系统为非时变系统（或称时不变系统）。

例2-3 判断下列系统是否为时不变系统：

（1）y（n）=x（n+1）-x（1-n）

（2）y（n）=nx（n）

（3）y（n）=x（n）+x（n-1）

解：（1）T[x（n-n₀）]=x（n+1-n₀）-x（1-n-n₀），而

y（n-n₀）=x（n-n₀+1）-x（1-（n-n₀））=x（n+1-n₀）-x（1-n+n₀）≠T[x（n-n₀）]

因此，该系统不是非时变系统。

（2）T[x（n-n₀）]=nx（n-n₀），而

y（n-n₀）=（n-n₀）x（n-n₀）≠T[x（n-n₀）]

因此，该系统不是非时变系统。

（3）T[x（n-n₀）]=x（n-n₀）+x（n-1-n₀），而

y（n-n₀）=x（n-n₀）+x（n-1-n₀）=T[x（n-n₀）]

因此，该系统是非时变系统。

三、线性时不变系统对任意输入的响应——线性卷积

任何一个序列都可以用单位取样序列δ（n）的移位加权和表示，即δ（n-k）。如果将x（n）作为一个线性时不变系统的输入，那么输出y（n）为

式中，h（n）为单位取样序列δ（n）通过线性时不变系统产生的响应，称为单位冲激响应；*表示线性卷积。

由以上推导可知，任何一个时域离散信号通过一个线性时不变系统，其输出等于该信号与系统的单位冲激响应的线性卷积。下面举例说明卷积的求法。

例2-4 求下面三种情况下的卷积：

（1）x（n）={1，2，3，1|n=0，1，2，3}，h（n）={1，2，1，-1|n=0，1，2，3}

（2）x（n）={1，1，1，1|n=0，1，2，3}，h（n）=aⁿu（n）

（3）x（n）=aⁿu（n），h（n）=bⁿu（n）

解：（1）方法一：做图

由卷积公式（2-13）可绘出图2-13。首先，将h（m）反转得到h（-m），然后将h（-m）移位，每移动一个单位，x（m）和h（-m）位置对应的值相乘，所得乘积全部相加，即为卷积的一个数值。h（-m）移动的范围取决于它与x（-m）是否有位置相对应的样本点。

方法二：做表2-1。

将卷积计算的每一步做图用表格的形式表示出来。例如：在表2-1中，h（1-m）表示h（-m）向右平移一个单位，将h（1-m）和x（m）位置对应的数值分别相乘，所得的乘积有2个2，相加得4，即为卷积在n=1时的数值，表示成y（1）=4。

方法三：借助数学中的乘法运算

x（n）和h（n）位置变量的范围可表示为0≤n₁≤3和0≤n₂≤3。因此，y（n）位置变量的范围为0≤n=n₁+n₂≤6。y（n）可表示为y（n）={1，4，8，8，3，-2，-1|n=0，1，2，3，4，5，6}。

方法四：借助δ（n）的移位加权和

x（n）=δ（n）+2δ（n-1）+3δ（n-2）+δ（n-3），h（n）=δ（n）+2δ（n-1）+δ（n-2）-δ（n-3），则y（n）=x（n）*h（n）=δ（n）+4δ（n-1）+8δ（n-2）+8δ（n-3）+3δ（n-4）-2δ（n-5）-δ（n-6）

这里运用了卷积性质：任何一个序列与δ（n）的卷积等于它本身，即x（n）=x（n）*δ（n）。

（2）方法一：借助δ（n）的移位加权和

x（n）=δ（n）+δ（n-1）+δ（n-2）+δ（n-3），则

y（n）=x（n）*h（n）=aⁿu（n）+a^n-1u（n-1）+a^n-2u（n-2）+a^n-3u（n-3）

=a⁰δ（n）+a¹δ（n-1）+a²δ（n-2）+aⁿu（n-3）+a⁰δ（n-1）+a¹δ（n-2）+a^n-1u（n-3）+a⁰δ（n-2）+a^n-2u（n-3）+a^n-3u（n-3）

=δ（n）+（1+a）δ（n-1）+（1+a+a²）δ（n-2）+（aⁿ+a^n-1+a^n-2+a^n-3）u（n-3）

方法二：解析法

由

故根据n的取值来确定m的范围：

当n＜0时，m无取值范围，y（n）=0；

当0≤n＜3时，0≤m≤n，；

当n≥3时，0≤m≤3，=aⁿ+a^n-1+a^n-2+a^n-3。

综上所述：

或者可表示为

y（n）=δ（n）+（1+a）δ（n-1）+（1+a+a²）δ（n-2）+（aⁿ+a^n-1+a^n-2+a^n-3）u（n-3）

（3）由于x（n）和h（n）均为无限长序列，用做图和做表等方法都无法完整准确地将两个序列表达出来，这里只能用解析法求解它们的线性卷积。

其中，m≥0，n-m≥0，所以有

当n＜0时，y（n）=0；

当n≥0时，。

综上所述

以下源码表示用MATLAB信号处理工具箱提供的conv函数计算两个序列的线性卷积：

脚本中，x（n）和h（n）的位置都是从n=0开始。如果x（n）和h（n）的起点是任意位置，即{x（n）|n_xb≤n≤n_xe}和{h（n）|n_hb≤n≤n_he}，y（n）的起点和终点分别为n_yb=n_xb+n_hb和n_ye=n_xe+n_he。这时，不能直接用conv函数，可用下面的conv_m函数完成任意位置序列的线性卷积。conv_m函数参考代码如下：

例2-5 计算x（n）={1，2，3，4|n=-1，0，1，2}和h（n）={1，2，3，4|n=-2，-1，0，1}的线性卷积。

解：在MATLAB命令窗口调用conv_m函数：

在求线性卷积的过程中，经常会用到一些性质，包括交换律、结合律、分配律和延时特性，现归纳如下，供读者参考：

交换律：x（n）*h（n）=h（n）*x（n）

分配律和结合律：x（n）*（h₁（n）+h₂（n））=x（n）*h₁（n）+x（n）*h₂（n）

延时特性：x（n-n₁）*h（n-n₂）=x（n）*h（n-n₁-n₂）=x（n-n₁-n₂）*h（n）

当单位取样序列δ（n）与其他序列线性卷积时，容易证明得到下面两个有用的公式：

x（n）=x（n）*δ（n），x（n-n₀）=x（n）*δ（n-n₀）。

四、因果系统

如果系统n时刻的输出只与n时刻及以前的输入有关，而与n时刻之后的输入无关，这样的系统称为因果系统。在线性时不变系统中，当n＜0时，单位脉冲响应h（n）=0，该系统是因果系统。同样，当一个序列在n＜0时，它的数值均为0，则该序列称为因果序列。

例2-6 判断下列系统是否为因果系统：

（1）h（n）=aⁿu（n）

（2）y（n）=x（n+1）-x（n）

解：（1）根据h（n）=0，n＜0来判断其因果性。因为h（n）=aⁿu（n）=0，n＜0，系统是因果系统。

（2）根据定义，y（n）不仅与n时刻的输入x（n）有关，还与n+1时刻的x（n+1）有关，因此系统是非因果系统。

五、稳定系统

当且仅当每一个有界输入序列都产生一个有界输出序列时，系统是稳定的。在线性系统中，单位冲激响应满足如下条件时，该系统为稳定系统：

例2-7 判断下列系统是否为稳定系统：

（1）h（n）=aⁿu（n）

（2）

解：（1）

当|a|＜1时，，系统稳定；

当|a|≥1时，系统不稳定。

（2）

由（1）可知，当|a|＜1且|b|＞1时，系统稳定。