第一节 时域离散信号

信号是一个值会随时间和空间变化的物理量。如果信号的值随连续的时间而变化，则称为连续时间信号或者模拟信号，用x_a（t）表示，变量t代表时间，一般以秒（s）计。日常生活中连续信号的例子有温度、压力、水位、化学浓度、电压与电流、位置、速度、加速度、力与扭矩等。如果信号仅在离散时间点上取值有效，这样的信号被称为时域离散信号，也称离散时间信号，用x（n）表示，其中变量n是整数值并在时间上代表一些离散时刻。因此，x（n）是一个数值的序列

此处向上的箭头↑指出n=0时的样本。

在MATLAB中可用行向量来表示一个有限长序列。其样本的位置信息可用另一个行向量表示。例如，序列x（n）={x（n）}={-1，2，-2，1↑，2，4，3，5}在MATLAB中表示为

产生离散时间信号的常用方法是对模拟信号进行采样。例如x_a=sin（t）表示一个正弦信号，它也是一个连续时间信号。如果对这个信号每隔T时间间隔取一个样点，可表示成

x（n）=x_a（t）|_t=nT=sin（nT）={0，0.1987，0.3894，0.5646，0.7174，0.8415，…}（T=0.2s）

如果x（n）的幅度取值用有限精度的数来表述，则这种幅度有限精度量化取值的序列称为数字信号。例如将x_a（nT）|_T=0.2的值用四位二进制数表示，便得到相应的数字信号，即

x（n）=x_a（nT）|_T=0.2={0.0000，0.0100，0.0110，0.0111，0.1000，…}

当一个系统或算法的输入是一个数字信号x（n），它的输出是另一个数字信号y（n）时，它被称为数字信号处理器。数字信号处理技术有着广泛的应用，并且在现代社会中起到了越来越重要的作用。

本章首先介绍数字信号和数字系统的表征和分类，然后阐述一个连续时间信号如何产生一个等效的离散时间信号，这个过程定义为采样。与采样处理密切相关的问题是：满足什么条件的采样样本x（n）才能包含恢复重建信号x_a（t）所需的全部信息？这个问题读者可通过阅读下文得到答案。

一、基本序列

（一）单位取样序列δ（n）

单位取样序列是最简单也是使用最多的序列之一，仅在n=0时，其值为1，其他各值均为0。它类似于模拟信号中的单位冲激函数δ（t），不同的是δ（t）在t=0时，取值无穷大。单位取样序列和单位冲激函数如图2-1所示。

在MATLAB中，函数zeros（1，N）产生一个N个零的行向量，利用它可以产生一个有限区间上的δ（n）。编写函数impseq（n0，n1，n2）来实现δ（n-n0），其中n1和n2表示序列δ（n-n0）起点和终点的位置。函数impseq（n0，n1，n2）参考程序如下：

在命令窗口输入MATLAB脚本：

输出图形如图2-2所示。

（二）单位阶跃序列u（n）

单位阶跃序列如图2-3所示。

在MATLAB中，函数ones（1，N）产生一个N个1的行向量，利用它可以实现在一个有限区间上的u（n）。编写函数stepseq（n0，n1，n2）来实现u（n-n0），其中n1和n2表示序列u（n-n0）起点和终点的位置。函数stepseq（n0，n1，n2）的参考程序如下：

在命令窗口输入MATLAB脚本

输出图形如图2-4所示。

单位阶跃序列与单位取样序列之间具有下列关系：

式（2-3）的含义如图2-5所示，式（2-4）表示u（n）可由δ（n）向右移动1位、2位……之和表示。

（三）矩形序列R_N（n）

式中，N为矩形序列的长度。

当N=3时，R_N（n）的波形如图2-6所示。矩形序列也可用单位取样序列或单位阶跃序列表示。

（四）正弦序列

常见到形如

的正弦序列，其中A，ω₀和φ都是实数，分别为x（n）的振幅、频率和相位（弧度rad）。可用MATLAB函数cos（　）或sin（　）产生余弦序列或正弦序列。例如，要生成序列x（n）=3sin（0.2πn+π/3）+2cos（0.3πn），0≤n≤10，可在MATLAB软件的命令窗口输入脚本

图2-7表示余弦序列x（n）=1.5cos（ω₀n）在ω₀取不同值时的波形图。ω₀从0逐渐增大到π的过程中，x（n）的波形振动越来越快，在ω₀=π附近，振动最快；然后ω₀从π增加到2π，波形振动越来越慢，在ω₀=2π处，波形与ω₀=0处一样。因此，在一个周期[0，2π）内，通常称ω₀=0附近为低频，ω₀=π附近为高频。

（五）指数序列和复指数序列

形如

的序列称为指数序列。其中，A和a可为实数或复数，若为实数，则为实指数序列。在MAT-LAB中，使用算符“.^”实现一实指数序列。例如，要生成序列x（n）=0.9ⁿ，0≤n≤20，可在MATLAB软件的命令窗口输入脚本

继续输入脚本

生成的图形如图2-8所示。

当a为复数时，可表示成，系数A也可表示成A=|A|e^jφ，则

式中，是复指数序列x（n）的振幅。

其实部和虚部分别为

可用MATLAB函数exp()产生指数序列。例如，要生成序列x（n）=e^（3+j5）n，0≤n≤20，可在MATLAB命令窗口输入脚本

（六）周期序列

满足等式x（n）=x（n+N）（N为正整数）的序列称为周期序列。用这个条件来检验离散时间余弦（或正弦）序列的周期性，即Acos（ω₀n+φ）=Acos[ω₀（n+N）+φ]，不难求出ω₀N=2πk，式中k为整数，也可写成，下面讨论N的几种可能情况：

1）当为整数时，k=1，则即为正弦序列的周期。

2）当为非整数，但它是一个有理数时，设，其中P和Q是互为素数的整数，这时，取k=Q，则N=P为正弦序列的周期。

3）当为无理数时，此正弦序列为非周期序列。

由于复指数序列可表示成余弦（或正弦）序列的形式，因此，其周期性的讨论与上述完全相同。下面举例分析几个序列的周期性。

例2-1 计算以下序列的周期：

（1）

（2）

（3）

解：（1），该序列为周期序列，且周期为3。

（2）序列的周期为4，序列cos（πn）的周期为2，均为整数，因此该序列一定为周期序列，且两个周期的最小公倍数4即为该序列的周期。

（3），是无理数，因此，该指数序列是非周期序列。

二、序列的运算

（一）信号相加

两个信号相加要求长度必须相同。如果两个序列长度不同或者长度相同，但是样本位置不同，也不能相加。可将序列增加若干零值延长，使得序列长度相等且样本位置一致。

例如：有这样两个序列x₁（n）={1，2，3，4n=0，1，2，3}和x₂（n）={1，2，3，4|n=-1，0，1，2}，它们长度相等，但是位置不一致（即n的取值不一致）。若要将两个序列相加，必须对它们进行延长，将两个序列n的取值范围都扩展成-1≤n≤3，扩展位置的序列值取零，此时，这两个序列分别为x₁（n）={0，1，2，3，4|n=-1，0，1，2，3}和x₂（n）={1，2，3，4，0|n=-1，0，1，2，3}，如图2-9所示。

（二）信号相乘

信号相乘即两个信号位置相同处的数值相乘，原理与信号相加类似，这里不再举例说明。

（三）信号移位

序列y（n）与x（n）的关系表示为y（n）=x（n-k），其中k为整数。当k＞0时，表示序列y（n）是将x（n）向右平移k个单位的结果；当k＜0时，表示序列y（n）是将x（n）向左平移k个单位的结果。例如：x（n）={1，2，3，4|n=0，1，2，3}，当y（n）=x（n+2）时，y（n）={1，2，3，4|n=-2，-1，0，1}，如图2-10所示。

（四）信号反转

序列y（n）与x（n）的关系表示为y（n）=x（-n），称y（n）是x（n）的信号反转，即y（n）是将原信号x（n）以y轴为对称轴镜像得到的。例如，序列x（n）={1，2，3，4|n=0，1，2，3}的反转，如图2-11所示。

（五）信号尺度变换

信号y（n）与x（n）的关系用公式y（n）=x（mn）表示，其中m取整数，表示每隔m单位取一个样本。例如，已知x（n）={1，2，3，4|n=0，1，2，3}，y（n）=x（2n）表示将原序列每隔2个单位取一个点，如图2-12所示。