2.1　压电元件的工作原理

智能结构的种类较多，按照传感器来分有光导纤维、电阻应变片、压电材料以及半导体等传感元件；按照驱动器来分有形状记忆合金、压电元件、磁致伸缩材料等驱动元件。其中，由于压电材料同时具有压/逆电效应，即能将机械振动转换成电信号，则可以作为传感器，也可以通过一定的电压，产生机械振动，作为驱动器来使用，并且相对于其他元器件具有轻质量、低成本、方便切割成所需形状和易于集成等优点，非常适合于结构的振动、噪声的测量和控制。

2.1.1　压电效应

所谓压电效应就是材料中电能和机械能之间互换的一种现象，此现象最早是1880年由皮埃尔·居里（Pierre Curie）和雅克·居里（Jacques Curie）兄弟在石英晶体中发现。如图2.1所示压电效应包含正压电效应和逆压电效应两种。图2.1（a）所示为正压电效应示意图，压电元件受到外力的作用产生变形，使得压电元件内部的正、负电荷产生相对位移，内部就产生电极化的现象，则同时在压电材料对应的两个表面上产生与外力成比例的相反的束缚电荷。

据图2.1（a）所示，正压电效应是一种没有电场作用下，完全由于形变而发生的极化现象，它体现了压电元器件将机械能转化成电能的能力。正因为压电元件的正压电效应的特性，将压电元件黏附在结构表面或者埋入基体结构里，通过检测压电元器件的电荷变化情况，即可得到压电元件及其粘贴处附近的应变量。因此，利用压电元器件的正压电效应可以将机械振动直接转化为可供量测的电压或电荷信号，利用这个特性可以将它作为传感器。在压电振动控制系统中，就是利用压电元件的正压电效应来动态监测结构振动的幅值、相角和频率等变化情况。

另一方面，在压电元器件极化方向的两表上施加电场，压电元器件内部的正负电荷中心会产生相对位移，从而引起压电元器件的机械形变和机械应力，当撤去外界电场时，这些形变和应力也会随之消失，这就是如图2.1（b）所示的逆压电效应。逆压电效应体现了压电元器件具有将电能转化为机械能的能力，也就是说，给压电元件通以一定量的电压，就可以获得相应的机械形变或者应力。因此，利用压电材料的逆压电效应，将其制作成驱动元件，然后粘贴在结构表面或埋入基体结构中，就可以使基体结构产生形变或者改变其应力。本书研究的压电结构的主动振动控制系统，就是根据主动控制器的输出，利用压电元器件的逆压电效应来产生相应的抑制结构振动的反向驱动作用力，进而达到抑制结构振动的目的。

压电材料这种独特的正、逆压电效应，使其在结构振动、噪声控制领域具有很广阔的应用前景。在实际的振动控制实验中，设计压电元器件的结构振动、噪声控制系统时，为了方便分析结构振动特性，则需要描述压电元器件的压电方程。

2.1.2　压电方程

为了研究压电结构的特性，则需要考虑结构与压电元器件的耦合，接下来首先介绍压电材料的本构方程，考虑到压电陶瓷PZT成本低廉且具备高的机电耦合系数，本书选用压电陶瓷PZT为结构振动的传感器和驱动器，因此接下来仅阐述压电陶瓷PZT的压电方程。压电本构方程是对压电材料的压电效应的数学描述，它是压电传感器、驱动器分析和设计的理论基础。PZT是一种电介质，由于具有在电场作用下会产生极化的特点，其电行为可以用电场E和电位移D来描述。假设不受外力作用的一块压电材料，在外电场强度E的作用下，电位移D和电场强度E满足如下所示的矢量关系

D=εE

(2.1)

式中：ε是介电常数，用来描述电介质的极化程度，是一个二阶张量εij（i，j=1，2，3）。第一个脚标i是电位移的方向，第二个脚标j是电场强度分量的方向，介电常数共有9个分量，其矩阵描述如式（2.2）所示：

(2.2)

由于对称关系，独立分量最多只有6个（即εij=εji），且本书所用的压电陶瓷PZT极化后与六角晶系材料相类似，其独立的介电常数分量只有ε11=ε22和ε33，式（2.2）进一步简化为

(2.3)

在外力作用下，振动控制中压电陶瓷作为弹性体，大小和形状都要发生一定的变化，可以通过应力T和应变S来描述弹性行为，并且在弹性限度范围内，遵循如式（2.4）所示的广义胡克定律：

S=sT

(2.4)

式中：s为弹性柔顺系数，由于对二阶张量应力T和应变S的脚标作了对应的简化，分别用单脚标的Tu和Si（u，i=1，2，…，6）来表示，因此四阶张量的弹性柔顺系数也简化为36个分量的双脚标si，u（i，u=1，2，…，6）的形式，压电材料的力学行为即它们的应力T和应变S之间的关系为

(2.5)

根据对称性则有Siu=Sui，因此Siu只有21个独立分量。与上面分析类似，由于极化后的压电陶瓷PZT的对称性与六角晶系类似，其独立的弹性柔顺系数分量只有5个，则式（2.5）进一步简化为

(2.6)

工程上，一般采用的杨氏模量和泊松比表示材料的弹性特性，则可以用杨氏模量Y1、Y3，剪贴模量G23以及材料泊松比v12、v13表示。则压电陶瓷PZT的柔顺系数满足如下关系：

s11=1/Y1，s12=-v12/Y1，s13=-v13/Y1，s33=1/Y1，s44=1/G23

(2.7)

如式（2.8）所示的压电效应是反映压电晶体的弹性和介电性之间相互耦合作用的关系，其中压电常数d是描述压电效应的物理量。

D=dT

(2.8a)

S=dtE

(2.8b)

式中：t为矩阵的转置，式（2.8a）是正压电效应表达式，表明压电材料的电位移D与应力T之间应遵循式（2.8a）的矢量形式；式（2.8b）表示应变S与电场E之间应该满足的逆压电效应的一般表达式。在上述情况下，描述电场强度E和应变S之间的关系式（2.8b）可以采用如下矩阵形式表达：

(2.9)

用张量分量式表示为

Si=djiEj　(i=1,2,…,6;　j=1,2,3)

(2.10)

根据压电材料的对称性，对于极化处理后的压电陶瓷PZT，由于d31=d32，d15=d24，因此只有d31，d33，d15 3个分量。它的压电应变常数矩阵进一步简化为如下：

(2.11)

压电方程就是反映压电体的电学特性（电场强度E和电位移D）与力学特性（应力T和应变S）之间的关系。通过上面的分析，对压电陶瓷PZT的介电性、弹性和压电性有了一定的了解，则接下来尝试用统一的描述来表达这些物理量之间的函数关系。根据力学-电学的边界条件和自变量的选择不同，则压电方程具有典型的4种类型。先取电场强度Ej（j=1，2，3）和应力Tu（u=1，2，3，4，5，6）为自变量，这就可以建立压电材料的第一类压电方程，用张量分量式表示为

(2.12a)

(2.12b)

压电方程（2.12a）表示压电陶瓷的应变量是由其承受的外部应力和电场共同作用的结果。式（2.12a）中第一项表示无外界电场强度E作用时，仅有应力作用而产生的应变；则第二项djiEj是由仅有外界电场强度作用时产生的应变值。尤其请注意式（2.12a）中一般定义为短路弹性柔顺常数，即当外界电场强度E为零（或常数）时的弹性柔顺常数，其单位为m2/N。

式（2.12b）中的第一项diuTu是仅有应力作用下产生的电位移；第二项是仅有电场强度造成的电位移。另外，表示应力T为零（或常数）时的介电常数，单位为F/m。

为了适应不同的边界条件，当选择其他物理量为系统的自变量和因变量时，就出现了另外3类压电方程，在这里就不再赘述。由此可见，压电方程反映了压电体的电学量E、D和力学量T、S 4个物理量之间的关系，它是研究和应用压电体的基础。下面结合压电元件的压电方程，对四面固支的压电板薄板的多模态振动特性进行详细的分析。