第1章车辆动力学基础

1.1 车辆动力学理论建模方法

在研究车辆动力学时，首要任务是建立系统的运动微分方程。常用的两种方法是利用牛顿矢量力学体系和拉格朗日分析力学体系进行动力学建模。本节以4自由度半车动力学建模为例，对比两种方法的特点。

质点系动量定理表达式为

即质点系的动量p对时间的导数等于作用于质点系的外力F_i的矢量和。可将式（1-1）改写为牛顿第二运动定律形式

式中，m为质点系总质量；a为质点系质心加速度。

质点系动量矩定理表达式为

即质点系对固定点o的动量矩L_o对时间的导数等于所有作用于质点系的外力对于o点的合力矩M_o。对于单个刚体绕某一轴线转动，其动量矩L等于转动惯量I与角速度ω的乘积，即

通过以上公式，可以对系统中各部分取分离体，引入铰链约束力和力矩平衡方程，推导出动力学方程。以图1-1所示的4自由度半车模型为例，其运动形式包括前后轴非簧载质量的垂向运动z₁、z₂，以及簧载质量的垂向运动和俯仰运动z_s、θ。利用牛顿矢量力学方法推导动力学模型过程如下。

分别对前后轴非簧载质量、车身簧载质量取分离体和受力分析，得到运动方程为

式中，F_f、F_r分别为前后悬架力；a和b分别为质心到前后轴的距离；m_s和I_p分别为车身质量和俯仰转动惯量；m_uf和m_ur分别为前后悬架非簧载质量；K_tf和K_tr分别为前后轮垂向刚度；z_gf和z_gr分别为前轮和后轮的路面激励。

图1-1 4自由度半车模型

前后悬架与车身连接处的垂向位移z₃、z₄可以由状态变量z_s、θ计算得到，当车身俯仰角θ较小时满足如下关系

则前后悬架力可进一步表示为

式中，K_sf和K_sr分别为前后悬架弹簧的刚度系数；C_sf和C_sr分别为前后悬架减振器的阻尼系数；

将式（1-7）代入式（1-5），选取系统输入及状态变量分别为

半车动力学模型的状态空间表达式为

式中

从上述建模过程可发现，牛顿矢量力学方法建模具有较为直观的物理意义，但需要对系统中的各部件取分离体，引入铰链约束力及力矩，再通过联立方程组消去，过程较为烦琐。描述系统位移需要用到的坐标较多，需要对不同参考系之间的坐标进行变换处理。

拉格朗日在结合达朗贝尔原理和虚位移原理的基础上提出了动力学普遍方程，表示为

式中，-m为作用于第i个质点的惯性力；F_i为作用于第i个质点的主动力；δx_i为第i个质点的虚位移量。

考虑到动力学普遍方程中各质点坐标间存在关联，需要引入几何约束方程。拉格朗日法引入相互独立的广义坐标系，消去动力学普遍方程中的虚位移，并定义系统动能函数E_T，对广义坐标求偏导，最终得到拉格朗日方程的基本形式为

式中，q_i为第i个质点的广义坐标；Q_qi为对应广义坐标q_i的广义主动力；n为动力学系统阶数。

对于车辆系统动力学建模而言，可将Q_qi视为作用于车辆系统的广义外力（对应广义坐标q_i）。定义总势能函数E_V，总耗散能函数E_D，则拉格朗日方程为

以图1-1所示的4自由度半车模型为例，利用拉格朗日分析力学方法的动力学建模过程如下。

首先，选取z₁、z₂、z₃和z₄为广义坐标，列出拉格朗日方程中动能E_T、势能E_V和耗散能E_D的表达式分别为

以广义坐标z₁为例，计算各能量函数偏导项，则

且系统受到的广义合外力为零。按上述方法计算各广义坐标下的方程，整理得到与使用牛顿法建模结果相同的动力学模型

利用拉格朗日方程推导动力学模型时，由于引入了广义坐标，使得描述系统运动所需的坐标数量减少，消去了系统中的无功内力。但对于复杂系统而言，拉格朗日能量函数表达式可能难以列写或存在较大的运算量。同时，选取合适的广义坐标需要一定经验。