062 1638年 对数螺线

笛卡儿(René Descartes,1596—1650)伯努利(Jacob Bernoulli,1654—1705)

鹦鹉螺就是一个展现对数螺线结构的最佳范例。螺体内部分割成许多壳室,成年鹦鹉螺最多可以长成30间,甚至更多的壳室。

阿基米德螺线(公元前 225 年),黄金比(1509 年),倾角螺线(1537年),对数(1614 年),费马螺线(1636 年),奈尔类立方拋物线的长度(1657 年),渥德堡铺砖法(1936年),乌拉姆螺线(1963年)及连续三角螺旋(1979 年)

大自然中,不论是植物界或动物界都很容易找到对数螺线的轮廓,最常见的例子当属鹦鹉螺或其他贝类生物、长有犄角的各种哺乳类动物、多数植物(譬如向日葵或菊花)种子的排列方式,还有大小不一的松果。加德纳还观察到一种蜘蛛所结的网,会从中心点以对数螺线的方式往外盘绕。

对数螺线(又名为等角螺线或伯努利螺线)可以用极坐标方程式 r=keaθ 表示,r表示螺线与原点之间的距离,螺线的正切线与画至(r, θ)径线之间的夹角恒为一常数。历史上首次对数螺线的讨论,要追溯到法国数学家暨哲学家笛卡儿在 1638 年一封写给法国神学家暨数学家—梅森(Marin Mersenne)的信。之后,瑞士数学家伯努利针对这个主题,进行了更广泛的研究。

许多银河星系巨大的螺旋臂堪称最壮观的对数螺线,一般认为必须要有长距离的引力互相牵引,才能创造出这样庞大的秩序。在这样的银河星系中,其螺旋臂就是由一堆活跃的行星所组成。

螺线模式通常自发地出现在大自然中经由对称变换所组成的物质中,这些变换包括了大小改变(成长)与旋转。组织结构依据功能性而决定,而螺线形式可以在拉长一段距离的情况下,维持住组织的紧致结构。在一定长度下维持导管的紧致、在增加表面积的同时兼具一定强度,这对软体动物或是耳蜗都具有显而易见的功用。生物界物种发育成熟之际,通常会让身体各部位以近似比例放大的方式演化,这也可能是大自然为何经常展现自我相似螺线成长的原因。■