044 约1350年 发散的调和级数

奥雷姆（Nicole Oresme,1323—1382）曼戈里（Pietro Mengoli,1626—1686）伯努利兄弟（Johann Bernoulli,1667—1748 Jacob Bernoulli,1654—1705）

奥雷姆大约在1360 年出版一本《论起源、自然、法律状态与铸币权的演变》，并在书中描绘出作者本人。

季诺悖论（约公元前445年），西洋棋盘上的小麦（1256年），圆周率 π 级数公式只发现（约1500年），布朗常数（1919年）及外接多边形（约1940年）

如果用无限象征上帝的话，发散级数就像一群想要高飞以接近上帝的天使；只要存在永恒的状态，这些天使就会与造物主紧紧相随。以下面这串无穷级数为例：1+2+3+4+…，如果每年在级数后面增加一个数字，经过四年后可得总和为 10；但只要经过无数年以后，这串级数的总和终究会变成无限大。这种会在累加无穷项后变成无限大的级数，数学家称之为发散级数。本条目要介绍的发散级数，其发散速度相对而言慢了许多，如果要用先前天使的比喻形容这个神奇的级数，我们可以说这位天使的翅膀力量小了许多。

让我们来谈谈调和级数，一个最简单的发散级数而且其无穷项会逼近 0 的例子：1+1/2+1/3+1/4+…。这个级数发散的速度当然远远不及前一个例子，但其总和仍旧会在无穷项后变成无限大。说得更仔细一点，这个级数累加速度之慢根本难以想象；如果我们每年只增加一个数字的话，过了1043年后，该数列的总和居然还小于 100。邓汉（William Dunham）就说：“钻研数学多年的专家往往有意忽略此一惊人的现象会对初入门的学生带来什么样的冲击—也就是说，就算每次只累积一丁点微不足道的小东西，最终，这样努力的总和还是可以超过任何一个预设的数量。”

中世纪法国著名哲学家奥雷姆是第一位证明出调和级数也会发散的人（约 1350 年），他推导的结果之后失传了好几世纪，一直到了 1647 年才由意大利数学家曼戈里完成证明。另外，瑞士数学家约翰·伯努利也在 1687 年完成同一证明。约翰·伯努利的哥哥雅各布布·伯努利在1689 年出版《无穷级数的论著》（Tractatus de Seriebus Infinitis）一书时，也在其中发表一种证明方式，并且结论道：“无穷尽的灵魂其实潜藏在微小的细节中；想要穷尽最细微的极限，却发现这样的探索，永无止境。无穷禁区辨识细微之中的更细微处，是何等令人雀跃之事！在细微处反倒能看到无垠边际，多么神奇！”■