2.1　算术平均和几何平均

算术平均收益率或平均收益率的定义是

几何平均收益率的定义是

通常我们会将式（2-2）写成如下更自然的形式，它表明g是该资产在N个周期上的平均累积收益：

关于算术平均收益率和几何平均收益率的一个基本结果就是前者总是大于等于后者。在数学证明之前，我们先来看一个简单而深刻的例子。

例2.1：假设一项投资在第一个周期具有100%的收益率，而在第二个周期具有-50%的收益率。那么其算术平均收益率就是

其几何平均收益率是

几何平均收益率是零，因为该项投资的价值最终没有发生改变。第一期翻倍，第二期减半，累积收益率为0%。然而，算术平均收益率却是正的。直观地说，如果一项投资在两个周期后的累积收益为零，那么这两个周期的收益必然一正一负。此外，正收益率的幅度必然大于负收益率的幅度，这就导致算术平均值必然为正。

为了从数学上证明μ≥g，我们首先注意到当r_j≥-1时，有1+r_j≥0。以下算术平均-几何平均不等式（AM-GM）适用于一般非负数a₁，a₂，…，a_N：

现在，我们用1+r_j代替不等式中的a_j，j=1，2，…，N。式（2-4）的左边变成1+μ，右边变成1+g，这就得出了μ≥g。我们对此结果有以下说明：

·只有条件1+r_j≥0为真，算术平均-几何平均不等式才能成立。

·只有当所有周期的收益相同时，等号才成立，即r₁=r₂=…=r_N，这意味着资产收益率的波动率为零。后面我们将更详细地分析算术和几何平均收益与收益波动率之间的关系。

算术平均-几何平均不等式，即式（2-4）是更一般结果的特例。请注意，其左侧代表一个等权重的平均值。如果我们考虑一个带有非负权重的加权平均值，即a₁，a₂，…，a_N都是非负实数，权重p₁，p₂，…，p_N均非负，且满足p₁+p₂+…+p_N=1，则广义算术平均-几何平均不等式是

·为了使式（2-5）中的等号成立，需要a₁，a₂…，a_N完全相同。当我们研究资产组合的算术平均和几何平均收益时，我们将使用这个不等式。