第2章 三维块体几何识别理论

2.1 引言

岩体介质在其形成和演变的整个地质历史时期中，经受各种复杂而不均衡的地质作用，形成了一个复杂的地质形体。从宏观地质结构上讲，岩体可以看成是由若干空间地质结构面切割而成的块体系统。目前，离散元法、不连续变形分析等非连续介质力学方法，均是以离散块体系统为研究对象，将岩体视为若干空间结构面所切割而成的复杂空间岩块集合体。但是，由于自然界的地形地质条件非常复杂，即使对岩体地形地质条件进行简化，也不可能像处理二维问题那样进行手工的块体剖分，有必要建立三维块体的几何识别方法。

三维块体识别问题虽然最早由Warburton^［68］提出，但由于引入裂隙面无限大假定，所以形成块体只能是简单的凸块体。后来，Lin^［140］在石根华指导下，根据代数拓扑理论率先提出了三维块体几何识别的数学方法。后经过IKEGAWA Y^［141］、彭校初^［142］、Lu J^［143］、JING L^{［144-145］}等不懈努力，已发展成为比较成熟的三维块体识别技术，能够生成空间任意形状的多面体（凸体或凹体，单连通或复连通）。另外，如何构建能够准确合适地反映三维块体特征的数据结构也是非常重要的问题。对于离散单元法和空间几何造型技术而言，目前存在以下几种基本块体系统表示方法^［136］：结构实体几何法（Constructive Solid Geometry，CSG）、边界表示法（Bounclary Representation，BR）等。

在结构实体几何法中，一些简单几何实体（如立方体、球体等）被作为基本部件通过拓扑变换和识别过程来形成更加复杂的几何块体，这种方法被广泛应用到计算机图形、几何实体造型和机器人研究等。在颗粒体离散元法中，通过结构实体几何法生成不同尺寸的颗粒单元，如二维中圆形、椭圆形及三维中的球形、椭球形等。边界表示法基于代数拓扑原则来表示多面体的边界，它首先被Lin运用到岩石力学中来表示裂隙岩体块体系统。另外，这种方法能够更加自然地表现一般多面体（凸体或凹体）的几何形态，能够更加真实地反映裂隙连通情况和块体系统信息，并且非常便于编程。

本章从代数拓扑中单纯形及单纯复合形的概念^［136］出发，结合一般多面体的特点，采用边界表示法来构建三维块体的数据结构；在此基础上，利用闭曲面拓扑性质——∂（∂K）=∂∂K=0即空间R³中的一个有向复形的有向边的和为零，整合现有空间环路和空间块体的搜索准则，进而完善了三维块体几何识别算法，同时利用Euler-Poincaré公式来验证块体搜索的正确性；另外，针对一般块体形态复杂、其物理特征量（如体积、质心、惯性矩等）难以精确求解的特点，利用单纯形积分来获得块体物理特征量的解析解，为块体拓扑类型的判断奠定基础。