2.7　有效数字

2.7.1　近似值的有效数字

由于对某一物理量进行测量的结果或由测试数据计算出的结果均有误差，所以可用一个近似值来表示。那么，这些近似值究竟用多少位数字表示才合适呢？有的人误认为近似值小数点后保留的数字的位数越多越准确。其实不然，小数点的位置与所采用的单位大小有关。例如，记某长度的数据为20.5cm和0.205m的准确度是完全一样的。应该明确的是，一个近似值的有效数字位数越多，该近似值越准确。那么，什么是有效数字呢？

通常，用数值来表示一个近似结果时，只能保留一位不准确数字，其余数字都应该是准确的。此时，把可靠的几位数字再加上可疑的一位数字统称为有效数字。换句话说，有效数字是指一个近似结果具有实际意义的数字。

根据有效数字的含义，有效数字的最后一位是有误差的。我们可以这样理解有效数字：从误差所在的那一位算起，包括这一位以上的数字（定位用的“0”除外），都是有效数字。

由近似值的误差和有效数字的定义，可以正确地写出近似值的结果。任何近似结果，其数值的最后一位都要与误差所在的一位取齐。例如，用台称称量一小块物体的质量为12.0g，该称量的最大绝对误差为±0.1g，因此这个量的记录结果应当是12.0g或写成（12.0±0.1）g，12.0的最后一位是有误差的，其真实重量在11.9～12.1g之间。显然，若将这个测量结果写为12.01g或11.99g等都是没有意义的。

对于单次直接测量结果的有效数字由估计的绝对误差确定；多次直接测量的结果，一般用算术平均值来表示测量的近似值，其有效数字由平均值的绝对误差来决定；对于间接测量，应当先求出结果的绝对误差，然后再根据结果的绝对误差来确定有效数字。

从有效数字来看，表示一个近似结果时，数字“0”在不同的位置而具有不同的意义。若作为普通数字使用，它也是有效数字。例如，测定数据2.50并不等价于2.5，前者有三位有效数字，而后者有两位有效数字。近似结果1.000有四位有效数字。显然，数据后面的“0”既不能随便加上，也不能随便去掉。

当用数字“0”来表示小数点的位置时，“0”不是有效数字。例如0.0025表示有两位有效数字；0.00250表示有三位有效数字。

当一个近似值的末尾有一个“0”或连续几个“0”时，这个数是一个小数，则这些“0”都是有效数字。若这个数是一个整数，以前人们可以理解为这一个（或几个）“0”都是有效数字，也可理解为仅是定位用的非有效数字，这往往容易混淆。为了统一，我们规定，近似值末尾的“0”都是有效数字（给出该近似值的绝对误差及其他特殊说明除外）。同时还规定，在一般情况下，一个近似值要用科学计数法来表示。例如，对54000取三位有效数字时，应写成5.40×104；近似值0.0025应写成2.5×10-3；近似值3200应是四位有效数字，它同3.200×103等价。

对于一个很大的数或一个极小的数，如果用科学计数法表示，在写法上是方便的，并且将该数输入计算机都是很省事的。