第一节 货币时间价值

一、货币时间价值的含义

货币时间价值是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值。在商品经济中，有这样一种现象：现在的100元和1年后的100元的经济价值不相等，或者说经济效用不同。现在的100元比1年后的100元的经济价值要大一些，即使不存在通货膨胀也是如此。为什么会这样呢？例如，将现在的100元存入银行，1年后可得到110元（假设存款利率为10%）。这100元钱过1年时间的投资增加了10元，这就是货币的时间价值。在实务中，人们习惯使用相对数字表示货币的时间价值，即用增加价值占投入货币的百分数来表示。例如，前述货币的时间价值为10%。

货币投入生产经营过程后，其金额随时间持续不断的增长。这是一种客观的经济现象。企业资金循环的起点是投入货币资金，企业用它来购买所需的资源，然后生产出新的产品，产品出售时得到的货币量大于最初投入的货币量。资金的循环及因此实现的货币增值，需要或多或少的时间，每完成一次循环，货币就增加一定金额，周转的次数越多，增值额也越大。因此，随着时间的延续，货币总量在循环中按几何级数增长，形成了货币的时间价值。

综上所述，货币的时间价值额是货币在生产经营过程中带来的真实增值额。货币的时间价值率是没有风险报酬和通货膨胀下的社会平均利润率。实务中，通常以利率、报酬率等来代替货币的时间价值。

二、现值和终值

现值，即现在的价值，是一个或多个发生在未来的现金流相当于现在时刻的价值，用PV（Present Value）表示。终值即未来值，是一个或多个现在发生或未来发生的现金流相当于未来时刻的价值，用FV（Future Value）表示。

单利和复利是两种不同的利息计算方式。在单利（Simple Interest）情况下，只有本金计算利息，利息不计算利息；在复利（Compound Interest）情况下，除本金计算利息之外，每经过一个计息期得到的利息也要计算利息，逐期滚算，俗称“利滚利”。

如果期限较短的话，单利和复利差别不大，但期限越长，两者之间的差别就越大。以100元进行单利投资和复利投资为例，假设利率为10%，投资1年，两者终值完全相同；投资2年，单利终值为120元（100+100 ×2 ×10%），复利终值为121元（100×1.12），两者差别为1元；而投资100年，两者差别为1376961元。除非特别说明，本书中货币的时间价值一般都按复利计算。

三、复利的终值和现值

（一）单一支付款项的终值和现值

单一支付款项的终值和现值一般简称为复利终值和复利现值。以下计算中我们以i表示利率或折现率（计算终值时一般称为利率，而在计算现值时常称为折现率，两者本质上相同），以n表示计算期间。

1．复利终值

复利终值是指现在特定的资金按复利计算的将来一定时间的价值，或者说现在的一定本金在将来一定时间按复利计算的本金与利息之和，简称为本利和。

复利终值的计算公式推导如下：

1年后的终值：F=P+P×i=P（1+i）

2年后的终值：F= [P（1+i）]×（1+i）=P×（1+i）2

3年后的终值：F= [P×（1+i）2]×（1+i）=P×（1+i）3

式（2.1）是复利终值的一般计算公式，其中（1+i）n称为复利终值系数或1元的复利终值，用符号（F/P, i, n）表示。例如，（F/P,10%,3）表示利率为10%，期数为3的复利终值系数。为了方便计算，复利终值系数可查复利终值系数表（见附表1）。

【例2-1】小王向银行存入1000元，假设银行利率为10%，则小王5年后可以从银行取得多少钱？

F =P ×（1 +i）n=1000 ×（F/P,10%,5）=1000 ×1.6105 =1610.5（元）

2．复利现值

复利现值是复利终值的对称概念，是指未来一定时间的特定资金按复利计算的现在价值，或者说为取得将来一定本利和现在需要的本金。

复利现值的计算公式可由复利终值的计算公式推导得出：

因为：F=P×（1+i）n

式（2.2）中，（1+i）-n称为复利现值系数或1元的复利现值，用符号（P/F, i, n）表示。例如，（P/F,10%,3）表示利率为10%，期数为3的复利现值系数。为了方便计算，复利现值系数可查复利现值系数表（见附表2）。

【例2-2】某人计划5年以后得到10万元，利息率为10%，则他现在应一次存入多少钱？

P =F ×（1+i）-n=100000 ×（P/F,10%,5）=100000 ×0.6209=62090（元）

（二）系列支付款项的终值和现值

由于系列支付款项可以分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金等形式，因此计算终值和现值时要区别对待。

1．普通年金终值和现值

（1）普通年金终值。普通年金终值犹如零存整取的本利和，是一定时期内每期期末等额现金流量的复利终值之和。假设每年年末支付的相等金额为A，利率为i，期数为n。其计算原理如图2-1所示：

根据复利终值的计算原理，年金终值的计算公式推导如下：

等式两边同时乘以（1+i），可得：

②-①，可得：

i·F =A（1 +i）n-A

整理可得：

式（2.3）中，称为年金终值系数，记为（F/A, i, n），可以查阅年金终值系数表（见附表3）。因此，年金终值公式又可以表示为：

【例2-3】小王每年年末向银行存入4000元，假定银行利率为10%,4年后小王可以从银行取得多少钱？

（2）偿债基金。偿债基金是指为使年金终值达到既定金额每期末应收付的年金数额。

根据普通年金终值计算公式：

在式（2.5）中，称为偿债基金系数，记为（A/F, i, n）。偿债基金系数可以把普通年金终值折算为每年需要收付的金额。偿债基金系数可以根据普通年金终值系数的倒数确定。因此，偿债基金的计算公式又可以表示为：

【例2-4】小王计划在5年后还清20万元债务，从现在起每年年末等额存入银行一笔款项。假设年利率为10%，为了还清债务，小王每年需要存入多少钱？

（3）普通年金现值。普通年金现值是指将在一定时期内按照相同时间间隔在每期期末收入或支付的相等金额折算到第一期期初的现值之和。其计算原理如图2-2所示。

根据复利现值的方法计算普通年金现值的公式推导如下：

①式两边同时乘以（1+i），可得：

②-①，可得：

P·i =A[1 -（1 +i）-n]

整理可得：

在式（2.7）中，称为普通年金现值系数，记为：（P/A, i, n），可以查阅年金现值系数表（见附表4）。因此，年金现值公式又可以表示为：

【例2-5】大海公司对某一项目进行投资，从投产之日起每年年末可得收益5万元。假设年利率为8%，计算预计10年收益的现值。

（4）年资本回收额。年资本回收额是指在约定年限内等额回收初始投资额或清偿所欠债务的金额。每次等额回收或清偿的数额相当于年金，初始投入的资本或所欠的债务就是年金现值。

根据普通年金现值计算公式可得：

在式（2.9）中，称为资本回收系数，可以把普通年金现值折算为年金。资本回收系数可以根据普通年金现值系数确定。因此，资本回收额的计算公式又可以表示为：

【例2-6】某企业投资2000万元的项目，若投资报酬率为10%，则该企业在10年内每年年末要收回多少才能收回全部投资额？

2．预付年金终值和现值

（1）预付年金终值。预付年金与普通年金的差别仅在于现金流量的发生时间不同。由于年金终值系数表和年金现值系数表是按常见的普通年金编制的，在利用普通年金系数表计算预付年金的终值和现值时，可以在计算普通年金的基础上加以适当调整。预付年金终值计算原理如2-3所示。

从图2-3中可以看到，n期预付年金终值比n期普通年金终值多计算了一期利息，因此n期预付年金终值等于n期普通年金终值乘以（1+i）。其计算公式如下：

【例2-7】陈先生连续10年于每年年初存入银行5000元。若银行的存款利率为5%，则陈先生在第10年年末一次性能够取出的本利和为多少？

F =A（F/A, i, n）×（1 +i）=5000 ×（F/A,5%,10）×（1 +5%）

=5000 ×12.5780 ×1.05 =66034.5（元）

或者：

F =A[（F/A, i, n +1）-1]=5000 ×[（F/A,5%,10 +1）-1]

=5000 ×（14.2070 -1）=66035（元）

（2）预付年金现值。

从图2-4中可以看到，n期普通年金现值比n期预付年金现值多折现一期。因此，n期预付年金现值等于n期普通年金现值乘以（1+i）。其计算公式如下：

【例2-8】小王购买了一辆汽车，选择分期付款，从现在开始每年年初付款5万元，到第5年还清贷款。假设银行利率为4%，该项分期付款相当于现在一次性付款的买价是多少？

P =A ×（P/A, i, n）×（1+i）=50000 ×（P/A,4%,5）×（1+4%）=50000 ×4.4518 ×1.04 =231493.6（元）

或者：

P =A[（P/A, i, n -1）+1]=50000 ×[（P/A,4%,5 -1）+1]=50000 ×（3.6299 +1）=231495（元）

3．递延年金的终值和现值

递延年金的收付形式如图2-5所示，前m期没有收付款项，后n期有等额收付款项。

（1）递延年金的终值。从图2-5可见，递延年金的终值与普通年金的终值的计算方法是一样的，公式如下：

注意：式中的n表示A的个数，与递延期无关。

【例2-9】大海企业计划入驻B商场，租赁期为5年，前两年免租金，从第三年开始每年年末付租金10万元，年利率为10%，第五年年末总租金的终值是多少？

F= A（F/A, i, n）=100000 ×（F/A,10%,3）=100000 ×3.3100=331000（元）

（2）递延年金的现值。递延年金现值的计算方法有以下三种：

第一种方法，假设递延期间也有年金收付，先求出（m+n）期的年金现值，然后扣除实际并未收付的递延期间（以m表示递延期数）的年金现值。其计算公式如下：

第二种方法：把递延年金视为n期普通年金，求出递延期末（第m期期末）的现值，然后再将此现值调整到第一期期初。其计算公式如下：

第三种方法：先计算出递延年金终值，然后再将此终值调整到第一期期初。其计算公式如下：

【例2-10】某公司准备购置一处房产，付款条件是：从第7年开始，每年年初支付15万元，连续支付10次，共计150万元。假设该公司的资金成本率为10%，则相当于该公司在第1年年初一次付款的金额为多少？（用上述的三种方法解题）

第一种方法：P=15 ×[（P/A,10%,15）-（P/A,10%,5）]=15 ×（7.6061-3.7908）=57.23（万元）

第二种方法：P =15 ×（P/A,10%,10）×（P/F,10%,5）=15 ×6.1446 ×0.6209 =57.23（万元）

第三种方法：P =15 ×（F/A,10%,10）×（P/F,10%,15）=15 ×15.9370 ×0.2394 =57.23（万元）

4．永续年金

永续年金的现值可以通过普通年金现值的计算公式推导出来：

当n→∞时，（1+i）-n极限为零，因此上式可写成：

【例2-11】高先生是一位海外华侨，他想在某高校建立一项永久性的奖励基金，每年年末颁发20000元奖金给品学兼优的学生。假设目前银行的存款利率为10%，则高先生现在应存入多少款项才可以使该基金正常运转？

（三）利率与计算期数的计算

1．利率i或期数n的确定

影响现金流量时间价值的因素有四个，即现值、终值、利率（折现率）和计息期数，只要知道了其中任意三个因素就可求出第四个因素。在以上计算中都是假定利率（折现率）、计息期数、现值（或终值）是已知的，求解终值（或现值）。但在某些情况下，也可以根据计息期数、终值或现值求解利率（折现率），或者根据利率（折现率）、终值或现值求解计息期数。

2．利率i的计算

利率的计算可以分为以下四步：

第一步：根据普通年金终值、普通年金现值的公式推出年金终值系数或年金现值系数。

第二步：根据年金终值系数表或年金现值系数表查找相应的利率i。

第三步：若在表中能够找到n对应的i，则是要求的利率i。

第四步：若在表中不能够找到n对应的利率i，则在n这一行找到最接近题目系数的两个系数，再根据内插法计算要求的利率i。

【例2-12】某企业第一年年初投资77.217万元购买一台设备，不需要安装调试，使用期10年，在使用期内每年为企业创造收益10万元，则该设备的投资收益率为多少？

根据年金现值计算公式，可得：

77.217=10×（P/A, i,10）→（P/A, i,10）=7.7217

在年金现值系数表中，在n=10这一行刚好找到系数7.7217，其对应的i=5%便是所要求的投资收益率。

【例2-13】某企业第一年年初投资100万元购买一台设备，不需要安装调试，使用期5年，在使用期内每年为企业创造收益30万元，则该设备的投资收益率为多少？

根据年金现值计算公式，可得：

100 =30（P/A, i,5）→（P/A, i,5）=3.3333

在年金现值系数表中，在 n=5这一行找不到相应的系数，在这一行找到3.3333的两个最接近的系数3.3522和3.2743，得：

（P/A,15%,5）=3.3522

（P/A, i,5）=3.3333

（P/A,16%,5）=3.2743

根据以上可以判断，所求的i介于15%～16%。根据内插法可得：

由上可得：

i=15.24%

3．期数n的确定

期数的推算和利率的推算原理是一样的。

【例2-14】陈先生现有闲置资金20000元，打算投资A项目，要求的投资报酬率为15%，则需要经过多少年后才能够增值到100000元？

根据年金现值公式，可得：

100000 =20000 ×（F/P,15%, n）→（F/P,15%, n）=5

在复利终值系数表中，在i=15%这一列找不到相应的系数，在这一列找到5的两个最接近的系数4.6524和5.3503，得：

（F/P,15%,11）=4.6524

（F/P,15%, n）=5

（F/P,15%,12）=5.3503

根据以上可以判断，所求的n介于11～12。根据内插法可得：

由上可得：