第2章　连续时间系统的时域分析【视频讲解】

2.1　本章要点详解

本章要点

■系统方程的算子表示法

■系统的零输入响应

■奇异函数

■信号的时域分解

■阶跃响应和冲激响应

■叠加积分

■卷积及其性质

■线性系统响应的时域求解

重难点导学

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一、引言

系统的复杂性常由系统的阶数来表示，系统阶数就是描述该系统的微分方程的阶数。

1．时域分析法

在分析过程中，如果不经过任何变换，则所涉及的函数的变量都是时间t，这种分析方法称为时域分析法。

2．变换域分析法

为了便于求解方程而将时间变量变换成其他变量，则相应地称为变换域分析法。

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二、系统方程的算子表示法

1．原理

（1）描写线性系统的激励函数和响应函数间关系的微分方程的形式为

式中和等为时域中的微分算子符号。

（2）为方便起见，把微分算子符号用来代表，即令

（3）又把积分算子符号用来代表，即令。

（4）于是有

利用这样的符号，积分方程或微分方程就可用较为简化的形式写出。

2．注意问题

（1）算子符号不是代数量；

（2）代数方程中的运算规则在算子方程中一般适用，但有例外。

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三、系统的零输入响应

1．定义

系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。零输入响应是由初始的能量分布状态，即初始条件所决定的。

2．求解方法

为求系统的零输入响应，就要解下式所示的齐次方程

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四、奇异函数

函数或其各阶导数都有一个或多个间断点，在间断点上的导数用一般方法就不好确定。这样的函数，统称为奇异函数。

1．单位阶跃函数

（1）定义式

（2）函数图

单位阶跃函数图，如图2-1所示：

图2-1　单位阶跃函数

2．单位冲激函数

（1）函数图

单位冲激函数图，如图2-2所示：

图2-2　单位冲激函数

（2）性质

①抽样性质

②单位冲激函数的积分是单位阶跃函数

③单位冲激函数和单位阶跃函数的关系

④奇异函数的若干次积分和若干次导数也都是奇异函数。

⑤冲激偶函数抽样性质

⑥冲激偶与普通函数相乘

⑦与普通函数相乘

⑧冲激函数为偶函数

⑨尺度变换

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五、信号的时域分解

1．分解的定义

将时间函数用若干个奇异函数之和来表示。

2．分解举例——有始周期锯齿波的分解

有始周期锯齿波波形，如图2-3所示：

图2-3　有始周期锯齿波

分解要用如下斜变函数

（1）单位斜变函数

（2）可以用来表示

故

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六、阶跃响应和冲激响应

1．冲激响应

当激励为单位冲激函数时，系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用表示。

冲激响应的形式与齐次解的形式相同

若方程的特征根均为单根

当时

当时

等号两端所含各奇异函数互相平衡。

2．阶跃响应

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七、叠加积分

1．原理

利用系统的叠加性原理，选取合适的子信号集，将任意信号分解成子信号之和，求子信号的响应，然后再求出整个子信号集之和。

2．注意问题

叠加积分的方法，有杜阿美尔积分和卷积积分，卷积积分是重点。

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八、卷积及其性质

1．定义

对于任意两个信号和，两者做卷积运算定义为

简记为

2．图示

卷积的图示，如图2-4所示：

图2-4　卷积图示

3．求卷积的步骤

求的步骤：

第一步：将函数，的自变量用代换，并将反转得到

第二步：将函数沿正轴平移时间，得到

第三步：两信号重叠部分相乘，求相乘后图形的积分

两图形分离，其乘积等于零。

，和完全分离，

以上计算结果归纳为

4．卷积的性质

（1）互换律、结合律和分配律

（2）函数相卷积后的微分与积分

（3）与冲激函数、阶跃函数的卷积

（4）卷积的多阶导数或多重积分运算规律

则有

其中，i、j取正整数时为导数的阶次，i、j取负整数时为积分的重数。

（5）函数延时后的卷积

如果

那么

（6）相关与卷积

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九、线性系统响应的时域求解

1．数学模型

描述LTI连续系统激励与响应关系的数学模型是n阶线性常系数微分方程

2．特征方程

系统的特征方程为

值为特征方程的根。

令为齐次解，即自由响应；为特解，即受迫响应；为全响应

（1）齐次解

系统的特征方程为

值为特征方程的根。

设齐次方程的特征根均为单实根

式中由初始条件确定。

表2-1　不同特征根所对应的齐次解

（2）特解

特解是满足微分方程并和激励信号形式有关的解，表2-2列出了几种激励及其所对应特解的形式

表2-2　不同激励所对应的特解