§4　微分形式

微分形式（又称外微分形式）是一种很有用的数学工具.采用微分形式记号，能够统一地表达上节中的几个重要公式.这种表达形式还能作很一般的推广——对进一步的数学研究有重要意义的推广.虽然我们这里还不能对有关问题作全面深入的探讨，但初步结识微分形式也仍然是很有益处的.

在学习第二型曲线积分和第二型曲面积分的时候，我们涉及到这样一些被积表达式：

像（4.1）和（4.2）这样的式子，分别被称为（R3中的）1次微分形式和2次微分形式.我们还把如下形状的表示式

叫做（R3中的）3次微分形式.

在讨论曲线积分的时候，我们把（4.1）式中的dx,dy和dz看作有向长度（有向曲线上一段微小的长度在三个坐标轴上的投影）.在讨论曲面积分的时候，我们把（4.2）式中的dyΛdz,dzΛdx和dxΛdy；看作有向面积（有向曲面上一块微小面积在三个坐标面上的投影）.至于（4.3）式中的dxΛdyΛdz，我们也把它看作R3中的有向体积元.为了体现有向性，我们约定：

通常以dxΛdyΛdz表示正的体积元.于是

——这里的

表示通常的三重积分.

除了上面所说的1次，2次和3次微分形式而外，我们还把数值函数f（x,y，z）叫做（R3中的）0次微分形式.

在Rn空间中，我们把如下形状的表示式叫做p次微分形式：

这里对每一个标号i1，……，iP都从1到n求和.为了书写省事，常常把（4.4）式简单地记为

——对于p次形式而目I是p重指标

它的每一个分量都在1到n范围内变化.我们也把数值函数

叫做（Rn中的）0次形式.

对于p次微分形式，按以下两式定义了加法和乘以数值函数的运算：

关于符号“Λ”，我们约定

鉴于这些关系，表达式（4.4）中某些项是0，另外还有一些项可以合并.于是，（4.4）式可以写成这样的形式：

这里求和号下的圆括号表示对满足以下条件的i1，……，iP求和：

为了书写省事，也常常把（4.7）式简记为

下面，我们扩充符号“Λ”的用法，在微分形式之间定义一种外乘运算：

（1）对于0次形式（即数值函数）f与次形式ω规定

（2）对于p次形式

与q次形式

规定

一所得的结果还应利用关系式（4.5）和（4.6）进行化简.

这样定义的外乘法适合下面所述的运算律：

设f1，f2，g1，g2是数值函数，ω1，ω2，ω是p次形式，θ，θ1，θ2是q次形式，η是r次形式，则有

例1　设有微分形式

试计算ωΛθ.

解　我们有

例2　设有微分形式

试计算ωΛθ.

解　我们有

例3　考查Rn中的n个1次形式

试证明

证明　根据定义应有

为了整理上面的表示式，我们引入记号

利用这记号，可以把表示为

这样，我们得到

也就是

例4　设fj（x1，……，xn），j=1，2，……，n，是数值函数，则有

证明　我们有

利用例3，就得到所求的结果.

前面已经谈到，任何p次微分形式都可以写成

其中∑号下的圆括弧，表示对满足以下条件的重指标I={i1，……，ip}求和：

在这样的标准表示下，如果各系数a1（x）都在某区域上r阶连续可微，那么我们就说这形式ω在该区域上是r阶连续可微的，简称是Cr的.对于r≥l的情形，我们可以定义一种运算d，这运算作用于一个p次Cr微分形式，产生一个p+1次Cr-1微分形式，运算d由以下条件唯一确定：

（这里设ω是p次形式）；

（d4）如果f是0次Cr形式（即r阶连续可微函数），那么df就是函数f的微分.

我们来说明这样的运算d是完全确定的.由于条件（d1），我们可以只考查d对“单项形式”的作用，不妨设ω具有这样的形状：

利用条件（d2），我们得到

利用条件（d3）（并利用（d2）），通过归纳法可以证明

这样，我们得到

根据（d4），我们得知

于是

我们把由性质（d1）—（d4）所决定的运算d叫做外导数或者外微分.根据上面的讨论，对于

应有

下面，我们再来考查R2和R3中的微分形式，并给格林公式，局斯公式和斯托克斯公式以新的表述.

在格林公式中，曲线积分的被积表达式是R2中的微分形式

计算这形式的外微分得

于是，格林公式可以写成

——这里的D是满足一定条件的平面区域，而∂D是它的边界曲线.

在高斯公式中，曲面积分的被积表达式是2次微分形式

计算这形式的外微分得

于是，高斯公式可以写成

——这里的D是满足一定条件的空间区域，而∂D是D的边界曲面.

在斯托克斯公式中，曲线积分的被积表达式是

计算这形式的外微分得

于是，斯托克斯公式可以写成

——这里的D是满足一定条件的可定向曲面块，而∂D是D的边界曲线.

我们看到，采用微分形式记号，格林公式，髙斯公式和斯托克斯公式可以统一地表示为（不论维数如何，都只写一重积分号）：

这里D是适当的区域或适当的曲面块，∂D是D的边界.人们把这样的一些公式统称为“斯托克斯型公式所有这些公式，都把展布于一定几何形的积分，与沿这几何形的边界的积分联系起来.其实，可以归入这一类型公式的还有牛顿-莱布尼兹公式：

——这公式的左端是沿闭区间I=[a, b]的积分，右端的表示式可以解释为沿I的边界∂I的“积分”.

所有的斯托克斯型公式都可以看作牛顿-莱布尼兹公式的推广.事实上，这些公式证明中的关键步骤，都用到了牛顿-莱布尼兹公式.人们把牛顿-莱布尼兹公式叫做“微积分的基本定理”，这是很有道理的.