§3　格林公式、高斯公式与斯托克斯公式

在一定的条件下，沿适当几何形体边界的积分可以转换为展布于这几何形体上的积分.本节将要介绍的格林（Green）公式、高斯（Gauss）公式和斯托克斯（Stokes）公式都涉及这种类型的转换.

3.a格林公式

格林公式把绕二维区域边界的第二型曲线积分转换为展布于这区域上的二重积分.我们先分析两种较特殊的情形，然后介绍更一般的结论.

情形1考查R2中的闭区域

这里yO（x）和y1（x）是连续函数，y0（x）≤y1（x）为了叙述方便，以下我们把像D这样的区域叫做甲类区域.通常把D的边界记为∂∂D，并约定在∂D上按下述法则诱导定向：沿∂D的正向前进时，D应在∂D的左方.设函数P（x, y）在D上连续可微，我们来计算第二型曲线积分

曲线∂D可以分成四段（参看图16-8）：

于是

直线段α和β都垂直于OX轴，根据第二型曲线积分的定义，应该有

因而

这样，我们把沿∂D的第二型曲线积分，转换为展布在D上的二重积分：

设R2中的闭区域Ω可以分拆为甲类区域——这就是说，Ω可以表示成两两无公共内点的有限个甲类区域的并集：

如果函数P在Ω上连续可微，那么就有

相邻的Di和Dj在它们的公共边界线上诱导的定向正好相反，这使得沿公共边界线的积分互相抵消（参看图16-9），所以

于是，我们得到

这是格林公式的一种特殊情形.

情形2再来考查另一类较特殊的区域

这里x0（y）和x1（y）是连续函数，x0（y）≤x1（y）我们把像E这样的区域叫做乙类区域.区域E的边界∂E仍照以前所述的法则定向（沿的正方向前进时，E在∂E的左边）.设函数Q在E上连续可微，我们来计算积分

与情形1中的讨论类似，可以得到

设R2中的闭区域Ω可以发拆为乙类区域——这就是说，Ω可以表示成两两无公共内点的有限个乙类区域的并集：

如果函数Q在Ω上连续可微，那么仍有

这是格林公式的另一特殊情形.

一般情形综合上面的情形1和情形2，就可得到这样的结论：

设Ω是R2中的闭区域，它既可以分拆为甲类区域又可以分拆为乙类区域.如果函数P（x,y）和Q（x,y）在Ω上连续可微，那么就有

这里∂Ω是Ω的边界，它按照我们前面所述的诱导法则定向.

在上面的陈述中，要求闭区域Ω既可以分拆为甲类区域又可以分拆为乙类区域.许多实际问题所涉及的闭区域都能满足这样的条件.其实，格林公式对更一般的闭区域也能成立，我们把这更一般的结果陈述为定理的形式.

定理1　（格林公式）设Ω是R2中由有限条分段连续可微曲线围成的闭区域.如果函数P（x,y）和Q（x,y）在Ω上连续可微，那么就有

这里的∂Ω是Ω的边界，它的定向按照以下法则确定：沿∂Ω的正方向前进时，区域Ω在∂Ω的左侧.

我们介绍这定理证明的基本思想，但不打算深入探讨证明的细节.首先注意到：R2中由有限条折线围成的闭区域既可以分拆为甲类区域又可以分拆为乙类区域.因而，对于由有限条折线围成的闭区域，格林公式应该成立.其次，设Ω是R2中由有限条分段连续可微曲线围成的闭区域，P和Q是在Ω上连续可微的函数.——按照约定，这意味着P和Q在包含了闭区域Ω的某一个开集W上连续可微.我们可以作一个由有限条折线围成的闭区域，使得∂Ⅱ与∂Ω充分接近，Ⅱ与Ω相差无几（请参看图16-10），从而使得

前面说过，对于由有限条折线围成的闭区域，格林公式成立：

我们得到

因为ε＞0可以取得任意小，所以

于是，对于相当一般的情形，我们证明了格林公式.

注记　采用意义容易理解的符号表示，我们可以把格林公式写成：

格林公式的这种整齐对称的写法，更便于记忆.

例1　设Ω是R2中由一条或几条分段连续可微曲线围成的闭区域.试说明Ω的面积σ（Ω）可按以下各式计算：

解　根据格林公式，我们有

例2　我们继续例1中的讨论.设Ω的边界∂Ω表示为

——这里x（t）和y（t）是分段连续可微的函数.则有

实际计算时不必顾虑符号的选择——只要对最后计算的结果取绝对值就可以了.

例3　试用例1中的公式计算椭圆面积.

解　椭圆的参数方程为

利用这参数表示计算第二型曲线积分得

例4　星形线的参数方程为

试求由星形线所围成的平面图形Ω的面积（参看图16-11）.

解　我们有

例5　试计算

这里C是圆周x2+y2=r2，E是椭圆周，Γ是环绕原点的任意连续可微的简单闭曲线——这些曲线都根据它们所围的有界区域来诱导定向.

解　利用圆的参数方程进行计算，很容易求得

第二个积分的直接计算比较麻烦，我们将采用间接方法计算.选取半径充分小的圆周C，使得这圆周完全包含在E的内部.把C与E之间的闭环状区域记为Ω，在这环状区域中，函数

都是连续可微的，并且

因而

由此得到

用同样的办法可以求得

这结果似乎有些使人感到惊奇.其实，我们可以把被积表达式写成

这里θ是点（x,y）的辐角.不管沿怎样的连续可微简单闭曲线Γ绕原点一周，积分Wr的值都应等于辐角的增量2π.

例6　试计算积分

这里Γ是不围绕原点的连续可微简单闭曲线，并且依据它所围的有界区域诱导定向.

解　把Γ所围绕的有界闭区域记为Ω因为Ω不含原点，所以函数

都在Ω连续可微，并且有

因而

3.b高斯公式

高斯公式把沿三维区域边界的第二型曲面积分转换为展布在这区域上的三重积分.与上一段中的讨论类似，我们通过对几种较简单情形的分析，证明一般的结论.

考查R3中的闭区域

和

这里的D,E和F分别是YZ平面，ZX平面和XY平面上由连续并且分段连续可微的曲线围成的闭区域，选x0，x1y和z0，z1分别是D,E和F上的连续可微函数.我们约定把像H这样的区域叫做甲类区域，把像K这样的区域叫做乙类区域，把像M这样的区域叫做丙类区域.设Ω是R3中的闭区域.如果Ω可以表示成有限多个两两无公共内点的甲类（乙类、丙类）区域的并集，那么我们就说Ω可以分拆为甲类（乙类、丙类）区域.

定理2　（高斯公式）设Ω是R3中的闭区域，它既可以分拆为甲类区域，又可以分拆为乙类区域，也可以分拆为丙类区域.如果函数P（x,y，z），Q（x,y，z）和R（x,y，z）都在Ω上连续可微，那么就有

这里∂Ω是Ω的边界，它以向外的法线方向为正方向.

证明　设H是一个甲类区域.我们来计算积分

甲类区域H的边界∂H由左、右两块曲面S0，S1和柱形侧面S组成，这里

柱形侧面S垂直于YZ平面（图16-12）.根据第二型曲面积分的定义，应该有

沿S0和S1的积分也容易计算：

这样，我们得到

因为Ω可以表示成有限多个两两无公共内点的甲类区域的并集，所以也应有

类似地可以证明

以上三式相加就得到高斯公式的一般形式.□

引入记号

可以把高斯公式改写成这样的形式

这里n表示∂Ω的外法线单位向量.

例7　设Ω满足定理2中的条件，试说明Ω的体积可按以下任一式计算：

解　利用高斯公式就得到

其余几式可以类似地证明.

例8　我们继续上例中的讨论.设Ω的边界具有正则参数表示

这里

利用这一参数表示来计算表示体积的曲面积分，就得到

在具体计算时，不必费心考虑怎样的符号选择对应于外法线向量.因为体积总是正的，所以只要对计算的结果取绝对值就可以了.

3.C斯托克斯公式

斯托克斯公式把沿一块曲面边界的第二型曲线积分与展布在这块曲面上的第二型曲面积分联系起来.在某种意义上，斯托克斯公式可以看作格林公式的推广.我们也将利用格林公式来证明斯托克斯公式.

设D是一块二阶连续可微的正则简单参数曲面：

这里Δ是R2上由分段正则曲线围成的闭区域，而

是二阶连续可微的单一的映射，满足条件

在曲面块D上选择好一个定向，这定向也就在D的边界∂D上诱导了一个定向（诱导法则：在D的正侧沿∂D的正方向前进时，D应该在∂D的左方）.又设函数P（x,y，z）在D上连续可微（这就是说P在包含D的一个开集上是连续可微的）.我们来考查第二型曲线积分

在所给的条件下，应该有

事实上，以边界曲线的参数表示代入计算，上式左右两端的结果是一样的.

在（3.1）式中，我们已将空间的第二型曲线积分转换为参数平面上的第二型曲线积分.于是，可以对后者运用格林公式：

计算得

于是得到

综合（3.1），（3.2）和（3.3），我们得到

设Q（x,y，z）和R（x,y，z）也都在D上连续可微，用类似的办法可以证明：

将（3.4）式，（3.5）式和（3.6）式相加，就得到

这就是对正则简单曲面情形的斯托克斯公式.据此可以得到更一般情形的斯托克斯公式.

定理3　（斯托克斯公式）设S是由有限块二阶连续可微的正则简单曲面拼接而成的可定向曲面，P（x,y，z），Q（x,y，z）和R（x,y，z）是在S上连续可微的函数，则有以下等式成立：

注记　我们提醒读者注意：在斯托克斯公式中，边界曲线∂S的定向应该是按照诱导法则决定的定向，否则在公式的右端就需要添上一个负号.

为了帮助读者记忆斯托克斯公式，我们指出以下几点：

（1）斯托克斯公式右端被积表达式的第一项与格林公式的情形类似，第二和第三项可以通过字母轮换而得到；

（2）斯托克斯公式的右端可以写成

（3）如果借助于第一型曲面积分来表示第二型曲面积分，那么（2）中的积分又可写成