四、测量不确定度的计算方法

不确定度的定义及意义：通过上述分析，我们发现测量误差应当是确定的量值，但由于真值并不知道，也就意味着测量值与真值的差异即误差应当是未知的，因此用误差来评价测量质量的好坏就不科学了，为此，我们引入新的物理量——不确定度，来表征测量结果。不确定度用U表示，表示被测量值的不确定程度。它不是一个确定的值，而是与测量结果相关联的一个量，与测量结果共同构成一个数值区间，即（X-U，X+U），被测量的真值可能属于其中，此概率由实验前定出。不确定度U越小说明测量结果的重复性好，数据集中，精度高，结果可信赖程度越高；反之则结果可信赖程度降低。

1.直接测量结果的不确定度的计算方法

（1）A类不确定度分量的定义及计算方法

对于符合统计规律、用统计方法评定的不确定度定义为A类不确定度，与测量的随机误差相对应。实际处理中可以直接用测量列的算术平均值的标准偏差来表示。即

　　 （17） 　　

注意到是从正态分布导出的，只有在测量次数n足够大时，式（17）的结果才与实际情况吻合。实际实验工作中，测量次数总是不太大，大约3～6次。这时随机误差的分布相对于正态分布已有明显的偏离，此时应将式（17）修正为

U_A=t_pu_A　　（18）

U_A即A类不确定度，由于它代表测量值的不确定程度，只可取一位有效数字，表征测量值在该位数上不可靠了。式（18）中t_p是一个大于1的放大因子，称为“t因子”。其取值由实验规定的置信概率p和实验的重复次数n（或自由度ν=n-1）共同决定。表4摘取了少量的t_p值，供实验使用。对于较低要求的实验，可以不考虑t_p的影响。

例3　用千分尺测量一根钢管的直径，各次测量值分别为：42.350，42.450，42.370，42.330，42.330，42.450，42.350，42.290，42.400，单位为mm。求置信概率p=0.68，0.95，0.99时，该测量列的A类不确定度。

解：算术平均值　　 　　

由式（17）：　　

n=9，查表得p=0.68，t_p=1.07；p=0.95，t_p=2.31；p=0.99，t_p=3.36。由式（17），按有效数字一般运算规则，应有

P=0.683时，U_A=t_pu_A=1.07×0.021mm=0.022mm

P=0.95时，U_A=t_pu_A=2.31×0.021mm=0.048mm

P=0.99时，U_A=t_pu_A=3.36×0.021mm=0.070mm

按照标准不确定度有效数字只能取一位的规定，三种置信概率下的A类不确定度分别为0.03mm、0.05和0.07mm。相应地应取。

（2）B类不确定度的计算方法

B类不确定度对应的是非统计分量，用非统计方法评定的，目前主要考虑的是由仪器引起的。

在物理实验中，经常遇到一些不能或不需多次重测量的情况，大体有三种：第一，仪器精度较低，偶然误差很小，多次测量读数相同，不必进行多次测量；第二，对测量结果的准确程度要求不高，只测一次就够了；第三，因测量条件的限制，不可能进行多次测量。对于一次测量是不能用统计方法评定其不确定度的。称为B类不确定度。

评定B类不确定度的方法不是唯一的，通常都是借助于仪器的允差δ_仪来对B类不确定度进行评定。

仪器允差δ_仪即仪器最大允许误差，简称仪器误差。仪器误差是指在正确使用仪器的条件下，测量结果的最大误差。不同的仪器其允差δ_仪的取值方法是不同的，我们需根据仪器的种类来选取。直尺类取最小刻度的一半，如果最小刻度为1mm，则取0.5mm；游标卡尺类，δ_仪取最小分度，如50线游标卡尺，取0.02mm；数字仪表，δ_仪也取最小分度；指针式电表，δ_仪的通用计算公式为

　　 （19） 　　

例如量程为1000mA的0.5级电流表测量结果的δ_仪为

（用此量程测量的任何电流，其δ_仪均为5mA，不随待测量变化，因此选用适当的量程可减小误差）

δ_仪实质上是仪器的极限误差，即在正确使用仪器的条件下，测量结果的误差超过δ_仪的概率不到0.3％。而同一批出厂的同一种仪器，各自实际给测量造成的误差是不同的，即产品质量在[-δ_仪，δ_仪]范围内是服从一定的概率分布的。常用的仪器，其质量指标较多的服从正态分布，还有一些服从三角分布或均匀分布。如图3所示。

考虑到对测量结果置信度的不同要求以及仪器误差服从的不同概率分布，约定对一次直接测量中由仪器误差引起的B类不确定度的评定公式为

　　 （20） 　　

式中，k_p称为“置信因子”，其取值与置信概率p有关，表5给出这一依赖关系的部分值。

C称为“置信系数”。根据概率统计理论，对于均匀分布，取；对于三角分布，取；对于正态分布，取C=3。几种常见仪器和量具的质量指标在最大允许误差Δ_仪范围内的分布与置信系数C的关系如表6所示。

可以看出，当要求置信概率为0.997时，对服从正态分布的测试仪表，其一次测量结果的标准不确定度可以用δ_仪直接来评定，即U_B=δ_仪。

（3）合成不确定度U_C

因为多次测量中的每一次测量就是一次单次测量，也要用仪器、仪表、量具进行，因而也存在一个B类不确定度分量，总的不确定度应该由两个不确定度分量共同决定。由于二者是相互独立的，根据误差理论可以用方和根法进行合成，用A、B两类不确定度分量由方和根法合成的总不确定度U_C称为合成不确定度，即

　　 （21） 　　

U_A、U_B二者中，若一个是另一个的3倍以上，则可以忽略其中较小的一个。

2.间接测量结果不确定度的计算方法

间接测量结果的不确定度，即函数的不确定度，它是由相关的各自独立的直接测量的不确定度决定的。因此，可以由直接测量的不确定度通过计算求出，称为“不确定度的传递（或合成）”。

（1）不确定度传递的数学依据

设有函数关系

N=f（x，y，z）

x，y，z相互独立，对上式两边求微分，由多元函数微分法则可以得到

　　 （22） 　　

式中，dN，dx，dy，dz分别为物理量N，x，y，z的微分，分别为函数N对自变量x，y，z的偏导数（即只对某一个自变量求导，同时将其他自变量看成常数）。

当对函数式两边求对数后，再对两边求微分，得到

　　 （23） 　　

（2）不确定度传递的基本公式

因为dx，dy，dz均为小量，当把它们看成直接测量结果的不确定度时，则可以用“方和根法则”得到不确定度的基本传递公式：

　　 （24） 　　

和 　　 　　 （25）

分别称为合成不确定度与合成相对不确定度。自变量不确定度前面的导数称为各不确定度的传递系数，它反映各自对函数不确定度起作用的程度。对于加、减运算的函数关系，直接用式（24）求测量量的不确定度U_N比较方便，对于乘、除运算的函数关系，可先用式（25）式求出相对不确定度U_r，再求U_N较为方便。表7中列出一些常用函数的传递公式。

例4　（直接测量量不确定度计算）用游标卡尺测量某物体长度为L（cm）：4.390、4.388、4.390、4.346、4.352、4.344，计算L的合成标准不确定度。

　　 解：1）算术求平均值 　　

2）求A类不确定度（取p=0.683，且n=6，查表得t_p=1.11）

3）求B类不确定度（p=0.683时，k_p=1，游标卡尺）

4）求合成不确定度

5）相对不确定度

例5　（直接测量量不确定度计算）用螺旋测微计测量一钢管的直径d，其测量值为42.350mm、42.350mm、42.370mm、42.330mm、42.300mm、42.400mm、42.350mm、42.480mm、42.290mm，螺旋测微计的Δ_仪为0.004mm。试求置信概率为0.683时，该测量列的平均值、A类标准不确定度、B类不确定度及合成标准不确定度。

解：算术平均值

合成不确定度

例6　（间接测量量不确定度计算）用单摆测重力加速度g，其计算公式为

其中L为摆长，n为每次测量摆动的周期数，t为n次摆动所用时间。实验一共测4次，每次摆动50个周期，用精度为0.1s的停表测每次所用的时间t，记录数据列入下表。

用钢卷尺测得摆线长l=0.972m，只测一次。用游标卡尺测得小球直径d=1.265cm，也只测一次。摆幅小于3°，取P=0.683。

解：直接测量的物理量为摆长L和每次摆动时间t。L为一次测量，由摆线长l和小球半径r组成；t为4次重复测量。

（1）求L的不确定度

其A类不确定度为0，只有B类。它由测摆线长引入的不确定度和测量小球直径引入的不确定度组成。但由于测量小球直径用的是游标卡尺，其允差比测摆线长用钢卷尺的允差要小一个数量级，故可以忽略不计，只须考虑测摆线长引入的不确定度。钢卷尺的产品质量分布服从均匀分布，，p=0.683时，k_p=1.00，因此有

（2）求t的不确定度

（3）求合成不确定度

因为函数为乘除关系，故先求合成相对不确定度较为方便，测得的摆长为

由表7可知

而　　

则 　　

（4）报导测量结果

特别强调：上述的不确定度处理是较为严格的一种评估方法，实际操作起来显得较为繁琐。对于初学者，在要求不高的情况下可以简化处理直接测量量的不确定度计算。因为现阶段我们教学的重点在于理解不确定度的概念，掌握其基本的处理方法。因此在后续课程中计算直接测量量的不确定度时可忽略t_p、k_p、C，即省去对这三个量的分析，从而简化我们的计算。简化后的计算为

其他的处理不变。

3.不确定度结果表达

在数据分析取得不确定度后，我们需按照规范合理的方式给出结果，使其能够直观地判断出实验的效果。

（1）结果表达形式

这是我们实验最后表达测量结果的统一格式，这里面包含了三个要素：、U、U_r，三者缺一不可。连接符号“±”不能简单的作为加或减进行计算，这是不需要算出的，表达出的是和U构成的测量值的不确定度区间范围，即），在不确定度意义描述中我们已介绍过。结果表述中若仅有U还不能准确反映出测量质量（在U相同时，而不同时，其测量质量是不一样的），因此，我们还必须配合于相对不确定度U_r，才能准确反映出测量的质量好坏。

（2）结果表达中的有效数字的保留

正如我们前面介绍的有效数字运算的情形，需按照一定的规则取舍多余的数字，结果表达中也不是保留越多的有效数位就越好，保留太多数位并没有实际意义，因此我们在使用科学合理的方法基础上，尽量使得结果简单明了。

结果表达中有效数字取舍时需按照一定的顺序进行处理，注意三个量、U、U_r的取舍方法各不相同，同时也要将它们和有效数字运算中的取舍方法加以严格区分，切勿混淆。

a.首先判断不确定度U。我们要求它的有效数字只能取一位，运算中多出的部分采取全入的方法，即“非零进位法”。例如，运算得到质量不确定度为U=0.134g，应保留为U=0.2g，“3”进行了进位，不能舍去。如果舍去“3”，结果为U=0.1g，可见不确定度减小了，意味着测量精度的提高，显然这是不合理不科学的。因此我们必须进位，哪怕适当降低了测量精度。

b.其次判断测量平均值。的尾数应当的位置应当和U=0.2g位置保持一致，多出的部分按照有效数字运算中的处理方法进行，即“四舍六入，五的前位配偶数”。例如，当不确定度U保留在百分位上时，测量平均值也需保留在百分位。

c.最后判断相对不确定度U_r。要求U_r保留1～2个有效数字均可。

例如例题4中的结果表达应为

例5的结果表达应为

在结果表达中我们还需要注意和U的单位必须保持一致，用科学记数法表达时的要求一样，且指数保持一致。单位改变时，不能随意增减“0”。