1.1 地表水运动基本微分方程组

雨水经过第一次分配后所得的地表径流深，还要进行第二次时空分配（即汇流）。对于地表水的运动规律由如下方程组来描述[1,2]。

1.1.1 连续方程

在水流体中，取微分距离dL的两个断面1-1及2-2，见图1.3。假定水体是不可压缩的，运动是连续的。现在来研究在微分时段dt内微分距离dL段水体的运动情况。

设t时刻水面为a-a, t+dt时刻水面为b-b，在dt时段内过水断面面积A*的改变量为，则在dt时段内dL段的体积改变量为。

设在t时刻通过断面1-1的流量为Q，而通过断面2-2的流量为Q+，故在dL段内的流量改变量为，则在dt时段内由流量的变化所引起的体积改变量为。若断面1-1的流量大于断面2-2的流量，则为负值，它表示流量减少的水体体积。显而易见，这部分水体滞蓄在dL段内，使得dL段在dt时段内水体体积增加，故为正值，反之亦然。由此可知与数值相等符号相反，即

等式两端同乘以后移项得

式（1.1）便是一元不稳定流连续方程。

1.1.2 动力方程

在建立动力方程时有两个基本假定：①运动是一元缓变流。②不稳定流的阻力表达式与稳定流时相同。

在符合上面假定的水流中，取相距微分段dL的两个断面1—1及2—2，见图1.4。根据牛顿第二定律，写出两断面间动力平衡方程。其作用力有压力、阻力、重力及惯性力。

1．压力 根据第一假定，作用在断面1-1上的压力P*为

式中：r——水的容重；

b——水深为y处的水面宽，b=b（y）。

令h-y=u°，b（y）dy=dv°，则。根据分部积分法有

作用在断面2—2上的压力为，其方向与断面1—1上的压力相反，故作用在dL段上水体总压力为

根据积分上限的导数定理得

故有

2．阻力 根据第二假定，阻力为，其中K*为流量模数，rA*dL为所取河段的水体重。

3．重力 由图1.4知，重力G在L方向上的分力（投影）为GL。由于角ε与α的对应边互相平行，所以ε=α。又因ε+ω=90°, ζ+ω=90°，所以角ζ=ε=α，故GL=G sinα=rA*d L sinα。

4．惯性力 惯性力为，因为流速v是距离和时间的函数，即v=v（L, t），所以，故有

式中：ρ——水的密度，；

g——重力加速度。

根据上述诸力，可得如下动力平衡方程

因为，则以乘式（1.2）得

式中：Z——水位；

Z0——河底高程。

式（1.3）即为动力方程。式（1.1）与式（1.3）合称圣维南（Venant St）方程组。该方程组是解决河道流量演算和流域汇流计算的基本微分方程组。