1.2　阵列信号处理的发展

阵列信号处理的发展最早可追溯到20世纪40年代的自适应天线组合技术，它使用锁相环进行天线跟踪。阵列信号处理的重要开端是Howells于1965年提出了自适应陷波的旁瓣对消器[5]。1976年，Applebaum提出了使信号干扰噪声比（Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR）最大化的反馈控制算法[6]。另一个显著的进展是Widrow等于1967年提出了最小均方（Least Mean Square，LMS）算法[7]。其他几个里程碑式的进展是Capon于1969年提出了恒定增益指向最小方差波束形成器[8]，Schmidt于1979年提出了多重信号分类（MUltiple SIgnal Classification，MUSIC）方法[9]，Roy等于1986年提出了基于旋转不变性技术的信号参数估计（Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT）方法[10]。Gabriel[11]是对自适应波束形成提出智能阵列（Smart Array）术语的第一人。1978年开始在军用通信系统中使用自适应天线[12]，在民用蜂窝式通信系统中使用天线阵列则是从1990年开始的[13]。

1.2.1　波束形成技术

波束形成（Beam Forming，BF）亦称空域滤波，是阵列信号处理的一个主要方面，并逐步成为阵列信号处理的标志之一。波束形成的实质是通过对各阵元加权进行空域滤波，以达到增强期望信号、抑制干扰的目的，而且可以根据信号环境的变化自适应地改变各阵元的加权因子。从提出自适应天线这个术语算起，自适应天线的发展已有50多年的历史。自适应研究的重点一直是自适应波束形成算法，经过前人的努力，现已经总结出许多好的算法。自适应阵列的优良性能是通过自适应算法来实现的，有多种准则可用来确定自适应权，它们主要包括：①最小均方误差（Minimum Mean Square Error，MMSE）准则；②最大SINR（MSINR）准则；③最大似然（Maximum Likelihood，ML）准则；④最小噪声方差准则。在理想情况下，通过这4种准则得到的自适应权是等价的。因此，在自适应算法中选用哪种准则度量并不重要，而选择什么样的算法来调整阵列波束方向图进行自适应控制才是非常重要的。自适应算法分为闭环算法和开环算法，早期主要注重闭环算法的研究，常用的闭环算法有LMS算法、差分最陡下降（DSD）算法、加速梯度（AG）算法，以及它们的改进算法。

广义旁瓣相消器（Generalized Sidelobe Canceller，GSC）是线性约束最小方差（Linearly Constraint Minimum Variance，LCMV）准则的一种等效实现结构，GSC将自适应波束形成的约束优化问题转换为无约束优化问题，分为自适应和非自适应两条支路，这两条支路分别称为辅助支路和主支路，要求期望信号只能从非自适应的主支路中通过，而自适应的辅助支路中仅含有干扰和噪声分量，其自适应过程可以克服传统方法中期望信号含于协方差矩阵引起的信号对消问题。但是正如文献[14]中所指出的，由于阵列天线误差的存在，所以GSC的阻塞矩阵并不能很好地将期望信号阻塞掉，而会使一部分能量泄露到辅助支路中。当信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）较高时，辅助支路中含有与噪声相当的期望信号能量，会出现严重的主辅支路期望信号抵消的现象，文献[14]将泄露的期望信号功率作为罚函数，提出了人工注入噪声的方法，使GSC具有稳健性，其中人工注入的噪声必须具有合适的功率。文献[15]表明当自适应权向量的范数小于一定的值时，同样可以提高GSC的稳健性。文献[16]提出了信号子空间投影的GSC改进算法，可以提高GSC的稳健性，但会在低SNR下发生波束畸变。本书将提出一种改进的GSC波束形成算法，即基于特征结构的GSC算法，该算法不仅可以克服传统GSC算法在高SNR下波束形成效果变差的缺点，而且可以克服文献[16]中提出的GSC改进算法在低SNR下性能差的缺点。

对角线加载方法。常用的LCMV算法也是一种采样矩阵求逆（Sample Matrix Inversion，SMI）算法。但是在SMI算法的实际运用中，各种误差的影响会导致副瓣电平升高，主瓣偏移，波束畸变较严重，输出SINR减小。文献[17]提出了对角线加载的波束形成算法，来抑制方向图畸变。文献[18]分析了加载量对自适应阵列SINR的影响。对角线加载方法减弱了小特征值对应的噪声波束的影响，改善了方向图畸变，但是加载量的确定一直以来是一个比较困难的问题。文献[19]提出了一种自适应的对角线加载的波束形成算法。

投影方法。为了克服LCMV算法对指向误差的敏感性，诸多研究提出了基于特征空间（Eigen Space Based，ESB）自适应波束形成算法（以下简称ESB算法），其权向量是由LCMV算法的最优权向量向信号相关矩阵特征空间投影得到的[20-23]。该算法与LCMV算法相比有较好的性能，具有较快的收敛速度和较强的稳健性。虽然ESB算法不像LCMV算法那样对指向误差敏感，但当指向误差较大时，ESB算法的性能也会急剧变差，尤其是当阵列孔径较大时，很小的指向误差也会使ESB算法性能下降。文献[24]提出了一种改进的ESB算法，在指向误差较大时，该算法仍能有较好的性能。该算法主要利用阵列接收数据来校正ESB算法的约束导向向量，使该导向向量尽可能地接近期望信号的导向向量，从而提高算法的性能。ESB算法的前提是必须知道信源的数目[23]。另外，ESB算法一般处理的都是信号不相干的情况，当信号相干时，ESB算法和空间平滑或Toeplitz化等相关技术结合起来，同样可以达到很好的效果。此外，在这些基本算法的基础上，文献[25]提出了一种基于广义特征空间的波束形成算法。文献[26]提出了正交投影方法。文献[27-28]提出了基于酉变换的谱估计方法，已成功应用于波达方向估计。文献[29]提出了利用投影算子对阵列数据进行降维处理，在一定程度上减小了计算量，同时提高了自适应波束形成的稳健性，其投影算子是根据目标和干扰的粗略估计，以及不完全的阵列流形知识得到的。当相关矩阵中含有期望信号时，输出SINR减小，波束畸变较严重。另外，当存在系统误差和背景噪声为色噪声时，该方法虽然能够减小协方差中的扰动量，但副瓣电平还会出现一定程度的升高，主瓣会发生偏离现象。文献[30-31]提出的ESB算法，其权向量是由LCMV准则下的最优权向量向信号相关矩阵的特征空间投影得到的。文献[32]提出了一种改进的基于投影预变换自适应波束形成算法，该算法根据期望信号输入的大小进行不同的处理，同时在存在相关或者相干干扰时仍具有较好的抑制性能和波束保形能力，从而大大提高了自适应波束形成的稳健性。文献[33-34]利用投影算子改善了波束形成的稳健性，但投影方法在相干信源情况下性能下降，而且投影算子需要知道期望信号和干扰信号的方向向量，这在实际系统中很难满足。斜投影算子是投影算子的扩展，文献[35]研究了基于斜投影的波束形成算法。对接收信号进行斜投影可有效消除干扰，进而提高波束形成的稳健性。

变换域的自适应滤波方法。LMS算法是一种较简单、实用的自适应波束形成算法。LMS算法的优点是结构简单，复杂度低，易于实现，稳定性高；缺点主要是收敛速度较慢，因而其应用也受到一定的限制。分析表明，影响LMS算法收敛速度的主要因素是输入信号的最大、最小特征值之比，该比值越小收敛速度就越快[36]。为了提高算法的收敛速度和性能，研究变换域的自适应滤波方法成为热点。文献[37-39]研究了频域的波束形成技术；文献[40]研究了基于余弦变换的波束形成技术；张小飞等改进了频域自适应波束形成算法，并提出了小波域的自适应波束形成算法[41-44]。

稳健自适应波束形成技术。目前，人们普遍关注在阵列响应向量未知情况下，自适应波束形成问题，即稳健自适应波束形成技术[3,45-47]。造成阵列响应向量未知的原因是期望信源的波束方向未知、天线阵列特性不确定、不恰当的模型及信源与天线阵列之间传播媒介的变化。为了提高未知阵列响应向量的稳健性，一些学者提出许多方法，如对角线加载波束形成[45]、基于测向技术的波束形成[46]和基于贝叶斯方法的稳健自适应波束形成[47]等，这些方法在一定程度都能够提高算法的稳健性。

盲自适应波束形成技术。近年来人们提出了许多盲自适应波束形成算法，它们的共同特点在于不需要阵列校验、波达方向、训练序列、干扰和噪声的空间自相关矩阵等先验知识。目前，盲自适应波束形成算法主要有三类：基于常模量（Constant Modulus，CM）的算法，基于高阶累积量的算法，以及基于周期平稳性的算法。基于常模量的算法利用信号的常模量特性提取有用信号，但是它采用的代价函数不能保证算法收敛到全局最小点。基于高阶累积量的算法由于利用信号的高阶统计特性，所以能够去除所有高斯噪声，但是它对于非高斯干扰信号的处理却比较困难，同时该算法的收敛速度过慢且运算复杂。基于周期平稳性的算法有许多优点，因为绝大多数通信信号是周期平稳的，并且很容易找出它们之间不同的周期平稳频率，所以基于周期平稳性的盲自适应波束形成算法是当前国际上阵列信号处理领域研究的热点，其新算法层出不穷[48]。

阵列天线误差分析。阵列天线自适应波束形成技术理论上具有十分优良的性能，但是在实际应用中却不尽如人意。其原因是阵列天线不可避免地存在各种误差（如阵元响应误差、通道频率响应误差、阵元位置扰动误差、互耦等），各种误差可以综合用阵元幅相误差来表示。近年来，许多文章从不同侧面分析了阵列误差对自适应阵性能的影响。文献[49]对各种误差的影响进行了综述分析。

1.2.2　空间谱估计方法

阵列信号处理的另一个基本问题是空间信号到达方向（Direction of Arrival，DOA）估计的问题，这也是雷达、声呐等许多领域的重要问题之一。DOA估计的基本问题是确定同时处在空间中某一区域内多个感兴趣的信号的空间位置，即各个信号到达阵列参考阵元的方向角，简称波达方向。估计的分辨率取决于阵列长度，阵列长度确定后，其分辨率也就确定了，称为瑞利限。超瑞利限的方法称为超分辨方法。

最早的超分辨DOA估计方法是著名的MUSIC算法（以及其改进算法[50-54]）和ESPRIT算法，它们同属特征结构的子空间方法。子空间方法建立在这样一个基本观察之上：若传感器数比信源数多，则阵列数据的信号分量一定位于一个低秩的子空间，在一定条件下，这个子空间将唯一确定信号的波达方向，并且可以使用数值稳定的奇异值分解精确地确定波达方向。由于把线性空间的概念引入到了DOA估计中，因此子空间方法实现了波达方向估计分辨率的突破。近年来，科技人员从各个方面发展和完善了子空间方法。一些学者提出加权子空间拟合方法[55-59]，该方法根据一些准则构造子空间的加权矩阵，并重新拟合子空间，以达到某种性能指标的最优。但是，加权子空间拟合方法在构造加权矩阵时，需要参数寻优，因此计算复杂、通用性差。殷勤业等提出了波达方向矩阵法[60]，此方法先根据阵列输出的协方差矩阵的性质构造波达方向矩阵，然后对波达方向矩阵进行特性分解，可以直接获得空间谱的全部信息，从而完全避免了多项式搜索，减小了计算量。另外，此方法属于二维参数估计方法，可以同时估计信号的二维方向角。波达方向矩阵法由于具有计算量小、参数能够自动匹配等特点，引起了人们的重视。文献[61-62]利用波达方向矩阵法，实现了信号频率和波达方向的同时估计。但是，波达方向矩阵法也存在一些缺点，如不允许任意两个信源有相同的二维方向角，否则算法将出现病态，该问题被称为“角度兼并”问题。因此，金梁和殷勤业提出了时空DOA矩阵方法[63-64]，该方法在保持原波达方向矩阵法无须搜索二维谱峰和参数自动配对等优点的基础上，利用阵元输出之间的互相关关系将空域的阵列观测数据变换到时空域，解决了“角度兼并”问题，并且适用于阵元排列不规则的阵列。

基于高阶累积量的空间谱估计方法。由于高阶累积量对高斯噪声不敏感，因此有一些学者利用阵列输出的高阶累积量（通常是四阶累积量）代替二阶累积量进行空间谱估计[65-66]。利用高阶累积量估计空间谱的好处是合成阵列的阵元数较实际阵元数多，即具有阵列扩展特性。但是，高阶累积量对非高斯噪声无能为力，并且计算量较大。

基于周期平稳性的空间谱估计方法。大部分人造信号具有周期平稳性，具有相同循环频率的信号有可能循环相关，具有不同循环频率的信号循环互相关为零。Gardner首先用循环互相关矩阵代替互相关矩阵，通过信号子空间拟合进行波达方向估计[67]，此方法的主要优点是抑制干扰信号和噪声能力强，具有信号选择能力，并可增加阵列容量。目前，在雷达系统中，随着反隐身要求及对目标高分辨率要求的不断提高，窄带信号的假设已经不符合实际情况。谱相关空间拟合方法[68]较好地解决了宽带问题。SC-SSF方法先通过对阵列各阵元输出信号进行循环自相关运算，得到一个基于循环自相关的信号模型，然后利用MUSIC算法实现对信源的波达方向估计。文献[69]在此基础上将该方法扩展到相干源的波达方向估计中。文献[70]将循环谱进行加权处理，得到了基于循环平稳特性的源信号到达角估计方法。文献[71]提出了基于循环互相关的非相干源信号方向估计方法。这些方法都是对谱相关空间拟合方法的改进。金梁等经过进一步研究，提出了广义谱相关子空间拟合DOA估计方法[72]，此方法将主要的循环平稳DOA估计方法统一起来，并揭示它们之间的内在联系。循环平稳DOA估计方面的新研究成果仍在不断出现[73-74]。

基于空时频三维子空间的空间谱估计方法。随着阵列信号处理理论研究的不断深入，非平稳信号的波达方向估计成为阵列信号处理领域研究的重点内容。在实际应用中，许多典型信号是非平稳的或谱时变的，而传统的子空间波达方向估计方法是针对平稳信号的。因此，利用传统的子空间波达方向估计方法对非平稳信号进行DOA估计，显然存在先天性不足。在许多场合中，信号的一些先验知识是可以利用的。那么，如何利用信号的一些先验知识在空时频三维子空间内对信号进行处理是国内外阵列信号处理领域研究的热点问题[75-80]。将一维时域信号映射到二维时频域中，能够在空时频三维空间中更精细、更准确地刻画和反映非平稳信号的特征和细节。利用时变滤波等方法，将一些在低维空间中难以区分，但具有不同时频特征的信号加以分离，同时有效地抑制干扰，可使得DOA估计方法具有信号选择性及更高的分辨率、更强的抑制干扰信号和噪声的能力。此方法适用于平稳信号和非平稳信号的DOA估计。

分布式信源的空间谱估计方法。在阵列成像、声源定位、海下回波探测、对流层和电离层无线电传播、低仰角雷达目标跟踪、移动通信等领域，目标信源具有分布特性。例如，在移动通信中，移动信源周围的局部散射使得同一个信源发出的信号可以通过不同的途径和角度到达接收阵列。这时，信源已不是点信源，它通常被认为是具有分布特性的角度扩展信源。基于点信源假设的高分辨DOA估计方法，由于未能考虑信源的空间分布信息，所以当点信源假设不再成立时，其DOA估计性能急剧下降。因此，扩展信源的波达方向估计也是国内外阵列信号处理领域的研究热点[81-82]。文献[83-85]基于局部角度扩展信源的协方差矩阵模型，提出了最大似然估计方法及其简化方法。也有研究人员基于子空间思想，提出了适用于局部角度扩展信源的伪子空间加权算法[86]和单次快拍的局部散射源参数估计算法[87]。对多个扩展信源的情况，一些学者也提出一些方法，如基于ESPRIT的方法[88]和基于协方差匹配的方法[89]。

二维DOA估计。二维DOA估计一般采用L型阵列、交叉十字阵列和面阵等实现二维参数的估计。二维DOA估计方法包括最大似然法[90]、二维MUSIC算法[91-92]、二维ESPRIT算法[93]、传播算子方法[94-95]、高阶累积量方法[96]和波达方向矩阵法[60]等。Clark和Scharf于1991年提出了二维最大似然法[90]，依据最大似然准则对阵列的输出数据进行时空二维处理，以实现二维参数的估计。Wax等[91]提出了二维MUSIC算法；Hua等[92]提出了基于L型阵列的二维MUSIC算法。二维MUSIC算法是二维DOA估计的典型算法，该算法可以产生渐近无偏估计，但要在二维参数空间搜索谱峰，计算量相当大，限制了其在实际中的应用。Zoltowski等[93]提出的二维Unitary ESPRIT算法和二维beamspace ESPRIT算法将复矩阵运算转化为实矩阵运算，降低了运算复杂度。文献[94]将传播算子方法和ESPRIT算法结合，给出了一种快速的空间二维参数估计算法，该算法无须进行任何搜索，直接给出闭式解。文献[95]提出了基于传播算子的低复杂度二维角度估计算法，该算法无须进行特征值分解，具有线性复杂度。文献[96]提出了一种利用高阶累积量来实现方位角和仰角估计的方法，该方法适用于一般的阵列几何结构，复杂度高。殷勤业等[60]提出了一种波达方向矩阵法，该方法通过对波达方向矩阵进行特征值分解，直接得到信源的方位角与仰角，无须进行任何谱峰搜索，计算量小，参数自动配对。波达方向矩阵法的缺点是需要通过双平行线阵等特殊的、规则的阵列才能实现二维DOA估计，并存在“角度兼并”问题。在波达方向矩阵法的基础上，金梁和殷勤业提出了时空DOA矩阵方法[63-64]，该方法在保持原波达方向矩阵方法优点的前提下，不需要双平行线阵，解决了“角度兼并”等问题。MIMO雷达目标定位问题也可表征为二维DOA估计问题[97]。

阵列近场信源定位。空间信源定位根据空间中信源到阵列的距离不同可分为远场信源定位和近场信源定位。远场信源，即信源位于阵列的远场或弗朗霍法（Fraunhofer）区域，r≫2D2/λ，其中r为信源到阵列参考阵元的距离，D为阵列孔径，λ为信号波长。由电波传播理论可知，信源的波前曲率可忽略不计，信源信号在空间中传播时可以看作平行波。因此，远场信源定位是指信源的DOA估计。对于近场信源而言，当信源到阵列的距离满足0.62(D3/λ)1/2≤r≤2D2/λ时，信源位于阵列的菲涅耳（Fresnel）区域，信源信号到达阵列的波前时呈现球面式波形，不能再近似为平面波，故将其称为近场信源。当信源处于阵列的Fresnel区域，即近场区域时，空间信源定位问题不仅与信源的DOA有关，还与信源到阵列的距离有关。近场信源模型既包括信源的DOA信息又包括距离信息，能够更加准确地描述信源在空间中的具体位置。Swindlehurst和Kailath提出了基于最大似然的近场信源参数估计方法[98]，该方法具有优异的统计特性，参数估计精度高，但该方法需要对一个高度非线性的代价函数进行高维度搜索，因此计算量巨大。Huang和Barkat证明了信号子空间和噪声子空间的正交性在近场信源定位问题中依然成立[99]，并且将远场的MUSIC算法推广至近场，提出了近场信源参数估计中经典的二维MUSIC（2D-MUSIC）算法，该算法需要在角度和距离两个维度中对全局空域空间谱进行搜索，从而可以得到近场信源的角度和距离参数的估计，参数估计精度高，但由于需要对二维全局空域空间谱进行搜索，因此计算量巨大。近年来，很多近场信源参数估计的算法被提出，如Root-MUISC算法、路径跟踪法、加权线性预测法、改进型路径跟踪算法[100-103]，它们对路径搜索法进一步进行了优化，利用已知的代数路径来替代路径搜索，进一步减小了计算量。基于二阶统计量的算法[104]，计算复杂度低，但通常需要进行多次矩阵分解操作，因此一般需要进行参数配对处理。

1.2.3　稀疏阵列信号处理

稀疏阵列[105-114]是近几年提出的一种新型阵列，其中包括最小冗余阵列[110]、互质阵列[111-112]和嵌套阵列[114]等。相比传统的均匀线阵，稀疏阵列能够增大自由度（Degree of Freedom，DOF），同时提高算法的角度估计性能，并且能够解决欠定情况下的信源角度估计问题[115]。在这几种稀疏阵列中，最小冗余阵列拥有较大的DOF，但其阵元位置没有一个固定闭式解。

关于互质阵列，国内外的学者们提出了多种适用于互质阵列的DOA估计算法，可将其大致分为解模糊方法[116]和虚拟化方法[117]两大类。解模糊方法分别对两个子阵进行DOA估计，并利用子阵阵元数的互质特性对比估计结果，从而得到唯一的DOA估计值。解模糊方法虽易于实现，但对两个子阵分别进行DOA估计的方法使得DOF大幅度减小。相比之下，虚拟化方法通过对接收信号协方差矩阵进行数据重构，获得一个由虚拟阵列接收到的单快拍信号，该虚拟阵列的长度远大于实际阵列的长度，因此虚拟化方法能获得较大的DOF。由于获得的虚拟信号是完全相关的，因此虚拟化后还需要对信号进行一定的处理。文献[117]根据压缩感知理论对稀疏信号进行重构，以实现空间谱估计。互质阵列的思想和嵌套阵列的思想类似，也是将一个阵列划分为多个子阵，不过子阵之间需要满足互质的关系。互质线阵由阵元数分别为M和N的两个均匀线阵组成，其中M和N为互质数，子阵的阵元间距分别为Nλ/2 和Mλ/2，其中λ为信号波长。特别地，文献[118]提出了一种稀疏采样的互质阵列，其可以通过M+N−1 个阵元获得o(MN)的DOF，因此可以提供更高的分辨率。文献[119]提出了一种基于互质阵列且无须进行谱峰搜索的算法，其主要思想就是通过子空间投影来消除角度模糊，实现较低的复杂度。文献[120]提出了一种交叉互质稀疏阵列，用来进行DOA 估计。目前常见的处理算法有空间平滑（Spatial Smoothing，SS）算法[19]、压缩感知（Compressive Sensing，CS）算法[121]、离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）算法[122]等，将这些算法与虚拟化方法结合，即可获得互质阵列的DOA估计算法。

嵌套阵列自2010年由Pal等提出以来，由于具有简单的阵列结构和大DOF特征而取得了巨大发展。为提高二阶嵌套阵列虚拟阵元数，Yang等通过引入附加阵元建立了改进嵌套阵列结构，并推导出了DOF闭式解[123]。文献[124-125]通过设计特定系统程序确定了物理阵元位置，进而建立了超级嵌套阵列（Super Nested Array，SNA）结构，该结构具有传统嵌套阵列的所有优势，同时由于邻近阵元更少而具有较低的阵元互耦，最后系统推导了高阶扩展结构。为进一步降低嵌套阵列互耦和增大DOF，Liu等在超级嵌套阵列的基础上建立了增广嵌套阵列结构[126]，该结构将第一个子阵分为两部分并分置于第二个子阵两端。文献[127-128]分别研究了宽带高斯信源和分布式信源条件下的嵌套阵列DOA估计方法。Yang等基于嵌套阵列（Augmented Nested Array，ANA）结构，采用稀疏Bayesian学习方法研究了非栅格目标角度估计问题[129]。针对L型嵌套阵列，Dong等利用嵌套特征和信号自协方差函数的对称性，提出了一种联合增广空时互相关矩阵方法，该方法能够克服角度模糊并实现角度自动配对[130]。文献[131]利用两个二阶嵌套阵列构建了L型嵌套阵列用于二维DOA估计，并提出了一种子空间扩展算法用于估计仰角和方位角，因而具有较低的复杂度。文献[132-133]根据Smith结构设计了二维嵌套阵列，系统研究了不同结构下的虚拟阵元分布情况，并采用二维空间平滑算法进行DOA估计。文献[134]从降低互耦影响的角度进一步提出了半开盒型阵列、半开盒型双层阵列和沙漏型阵列，并通过仿真说明了上述阵列具有较好的估计性能等。