2.2　高阶统计量

2.2.1　高阶累积量、高阶矩和高阶谱

高阶统计量通常包括高阶累积量和高阶矩，以及它们相应的谱——高阶累积量谱和高阶矩谱。它们都描述了随机过程的数字特征[1]。

对于n维随机变量x=[x1,x2,⋯,xn]T，定义其第一特征函数为

Φ(ω1,ω2,⋯,ωn)=E{exp[−j(ω1x1+ω2x2+⋯+ωnxn)]}

（2.24）

其第二特征函数为

Ψ(ω1,ω2,⋯,ωn)=ln[Φ(ω1,ω2,⋯,ωn)]

（2.25）

定义2.2.1和定义2.2.2　对式（2.24）和式（2.25）分别进行泰勒展开，则随机变量x=[x1,x2,⋯,xn]T的r=k1+k2+⋯+kn阶累积量ck1,k2,⋯,kn和r=k1+k2+⋯+kn阶矩mk1,k2,⋯,kn分别定义为

累积量和矩之间可以相互转化。假设随机变量的一次实现为x={x1,x2,⋯,xk}，Ix={1,2,⋯,k} 表示x的下标的集合。若I⊆Ix，则xI表示下标为I的子向量xI={xi1,xi2,⋯,xiI}，其中，I≤k，i=1,2,⋯,q，q≤k。若I的一种分割的集合中的元素数量为q个，则表示非相交、非空Ip的无序集合，表示对I所有可能的分割求和。用mom(xI)=E[xi1xi2⋯xiI]表示xI的矩，用cum(xI)表示xI的累积量，则累积量和矩之间的转换公式为

由此可知，零均值随机过程{x(n)} 的二阶、三阶、四阶累积量分别为

cum{xi1,xi2}=E{xi1xi2}

（2.30）

cum{xi1,xi2,xi3}=E{xi1xi2xi3}

（2.31）

若零均值随机过程{x(n)}是平稳的，则有

c2,x(τ)=E{x(n)x(n+τ)}

（2.33）

c3,x(τ1,τ2)=E{x(n)x(n+τ1)x(n+τ2)}

（2.34）

定义2.2.3　设高阶累积量是绝对可和的，即

则k阶累积量谱定义为k阶累积量的k−1 维Fourier变换，即

高阶累积量谱常简称高阶谱或多谱。最常用的高阶谱是三阶谱S3,x(ω1,ω2)和四阶谱S4,x(ω1,ω2,ω3)。我们又把三阶谱称作双谱，把四阶谱称作三谱。

定义2.2.4　设高阶矩mk,x(τ1,τ2,⋯,τk−1)是绝对可和的，即

则k阶矩谱定义为k阶矩的k−1 维Fourier变换，即

2.2.2　累积量性质

性质2.2.1　设n个常数λi（i=1,2,⋯,n）与n维随机变量(x1,x2,⋯,xn)对应，则有

性质2.2.2　累积量关于它们的变量对称，即

cum{x1,x2,⋯,xn}=cum{xi1,xi2,⋯,xin}

（2.41）

式中，(i1,i2,⋯,in)是(1,2,⋯,n)的任意一种组合。

性质2.2.3　累积量关于它们的变量具有可加性，即

cum{y0+z0,x1,x2,⋯,xn}=cum{y0,x1,x2,⋯,xn}+cum{z0,x1,x2,⋯,xn}

（2.42）

性质2.2.4　如果α为常数，则有

cum{α+x1,x2,⋯,xn}=cum{x1,x2,⋯,xn}

（2.43）

性质2.2.5　如果n维随机变量()和()相互独立，则有

cum{y1+x1,y2+x2,⋯,yn+xn}=cum{x1,x2,⋯,xn}+cum{y1,y2,⋯,yn}

（2.44）

性质2.2.6　如果n维随机变量()中某个子集与其补集相互独立，则有

cum{x1,x2,⋯,xn}=0

（2.45）

2.2.3　高斯随机过程的高阶累积量

有n维高斯随机变量x=[x1,x2,⋯,xn]T，设其均值向量为a=[a1,a2,⋯,an]T，协方差矩阵为

|ai|<∞，且rij=E{(xi−ai)(xj−aj)}，i,j=1,2,⋯,n。

n维高斯随机变量x的联合概率密度函数为

x的联合特征函数为

式中，ω=[ω1,ω2,⋯,ωn]T。

x的第二联合特征函数为

于是，根据累积量定义式，随机变量x的r=k1+k2+⋯+kn阶累积量为

由于Ψ(ω)是关于自变量ωi（i=1,2,⋯,n）的二次多项式，Ψ(ω)关于自变量的三阶及更高阶偏导数等于零，因此x的三阶及三阶以上累积量等于零，即

ck1,k2,⋯,kn=0，k1+k2+⋯+kn≥3

（2.51）

由x的联合特征函数可得出r=k1+k2+⋯+kn阶矩mk1,k2,⋯,kn，并可证明：

由此可得以下结论。

（1）高斯随机过程大于二阶的矩不会比二阶矩提供更多的信息。

（2）高斯随机过程大于二阶的累积量全部为零。

（3）非高斯随机过程至少存在某个大于二阶的累积量不为零。

因此，高阶累积量可以抑制高斯分布的噪声，建立高斯噪声中的非高斯信号模型，提取高斯噪声中的非高斯信号。

2.2.4　随机场的累积量与多谱

引入向量符号：

v=[v1,v2,⋯,vk]T

y=[y(m,n),y(m+i1,n+j1),⋯,y(m+ik−1,n+jk−1)]T

（2.53）

定义2.2.5　随机场y(m,n)的k阶累积量定义为第二特征函数（累积量生成函数）K(v)=lnE[exp(jvTy)]的泰勒展开中的(v1,v2,⋯,vk)项的系数。

因此，y(m,n)的k阶累积量是用k阶及以下各阶的联合矩定义的，是2(k−1)个滞后变量的函数。更高维数的随机过程的累积量也可以类似定义，而且d维随机场的k阶累积量是d(k−1)个滞后变量的函数。

为了简化符号，我们用m=(m1,m2,⋯,md)表示d个元素的行向量，记0=(0,0,⋯,0)，1=(1,1,⋯,1)，用m≤n表示mi≤ni（i=1,2,⋯,d），并且定义im=(im1,im2,⋯,imd)以及m+i=(m1+i1,m2+i2,⋯,md+id)。

利用以上符号，零均值随机过程的二阶、三阶、四阶累积量分别为

c2,y(i)=E[y(m)y(m+i)]

（2.54）

c3,y(i,j)=E[y(m)y(m+i)y(m+j)]

（2.55）

c4,y(i,j,k)=E[y(m)y(m+i)y(m+j)y(m+k)]−c2,y(i)c2,y(j−k)−

c2,y(j)c2,y(k−i)−c2,y(k)c2,y(i−j)

（2.56）

若零均值随机过程是平稳的，则有

c3,y(i,j)=c3,y(j,i)=c3,y(−j,i−j)c3,y(i−j,−j)=c3,y(−i,j−i)=c3,y(j−i,−i)

（2.57）

这说明，对于二维平稳随机过程y(m,n)的三阶累积量，只要计算出{(i,j):0≤i1≤j1,−∞<i2,j2<∞} 区域内的累积量，就能够推算出所有滞后的累积量。这一区域就是三阶累积量的无冗余支撑区域。更一般地，对于d维随机场，其k阶累积量共有k! 个对称关系：

将上述讨论结果推而广之，将标量变元换成向量变元后，一阶累积量的定义、对称性以及其他性质就变成了多阶累积量的定义和各种性质。同样，高斯随机过程的定义及性质也可进行相应的推广。

d维随机过程y(m)的k阶多谱定义为其k阶累积量的d(k−1)维Fourier变换。和一维情况类似，累积量的绝对可和性是对应的多谱存在的充分条件。进一步地，若y(m)是一个可表示为y(m)=h(m)∗w(m)的线性过程，则y(m)的多谱存在的条件是w(m)的（相同阶数）多谱存在，并且h(m)是绝对可和的。

特别地，2d阶双谱是式（2.55）的2d维Fourier变换：

注意，d维随机过程y(m)的k阶多谱Sk,y(u1,u2,⋯,uk−1)是d(k−1)个频率变量的函数，因为ui是d个元素的行向量。双谱具有以下对称性质：

S3,y(u,v)=S3,y(v,u)=S3,y(−v,v−u)=S3,y(v−u,u)

=S3,y(−v,u−v)=S3,y(u−v,−u)

（2.60）

若y(m)为实值过程，则

S3,y(u,v)=S3,y(−u,−v)

（2.61）

更一般地，k阶多谱相对于它们的变元是对称的，并满足下列关系：