百鸡题和中国剩余定理

在生产上和日常生活上，有时会遇到两种东西混合的数学问题。如果已知两种东西的总量和总价，又知每一种东西的单价，就可以求出它们各有多少数量，象《九章算术》的“善田恶田”、《孙子算经》的“雉兔同笼”和《张丘建算经》的“清酒醑酒”等都是。这些题目，每题都只有一组答案。《张丘建算经》又把上述的问题推广，创立了三种东西混合的“百鸡”题，书中列举了三组答案。另外，在《孙子算经》里有一个“物不知数”的题目，原书虽然只举一个答数，其实这仅是一个最小的正整数解。百鸡和物不知数两个问题，答数都是无限，而都要求正整数的解答。因此，在本篇里把它们放到一起来讨论。

《张丘建算经》的百鸡问题和它的三组答案是：

今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何?答：鸡翁四，母十八，雏七十八。又答：鸡翁八，母十一，雏八十一。又答：鸡翁十二，母四，雏八十四。

原书所举的解法，仅有“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得”共十七个字。这一段话告诉我们这三种答数间的关系是：鸡翁顺次增加四（就是由第一答中的四增加到第二答中的八，再由此增加到第三答中的十二），鸡母顺次减少七，鸡雏顺次增加三，但第一种答案怎样求到，原书却没有交代。

在现传《张丘建算经》里有一条注，其中举出谢察微的一个解法，但这个解法是偶然凑巧，不适用于其它的同类问题。

宋代杨辉《续古摘奇算法》（1275年）转载了这一个百鸡题，把它称做“三率分身”法的问题。杨辉虽然只记录了《张丘建算经》中的部分字句，仍没有解法，但是后面另举两个同类问题，却各有合理的解法。现在把它们分别记述在下面。

第一个同类题据杨辉称出于《辩古通源》（现已失传）。我们如果用它的解法来解百鸡题，应该先由

100×3－100=200，5×3－1=14，3×3－1=8，

算出200，14，8三个数。这实际就是设鸡翁数是x，鸡母数是y，鸡雏数是z，依题意列方程

x+y+z=100,......................(1)

..................... （2）

用加减消元法消去z，得

14x+8y=200。（3）

这个方程里的三个数和上面算出来的完全一样。接下去计算200÷（14+8），得商数9，余数2，这个余数不是14或8的倍数，于是我们改用小于9的整数作为商数。如果8作商数，就得余数24，这个余数正好是方程（3）中y的系数8的3倍，由此可把商数8作为所求的鸡翁数。这个算法的原理是这样的：设，代入方程（3），得

14x+8(x+u)=200.

就是 (14+8)x+8u=200

既然200÷（14+8）=8余24，那么就可得x=8，8u=24，u=3。由此继续求得鸡母数是8+3=11，鸡雏数是100－8－11=81，就是前举的第二种解答。

第二个同类题出于杨辉所见的写本中，这个方法必须把三种物品中的某一种物品件数依次假定是1，2，3，4……，改原题为鸡兔类问题，分别仿照《张丘建算经》的“清酒醑酒”问题，用“交换法”来解（杨辉称这种算法为“双率分身”）。直到算得其它两种物品的件数也成整数，就得问题的解答。用这个方法来解百鸡题，依次假定鸡翁数是1，2，3，分别算得鸡母数都不是整数。继续假定鸡翁数是4，由此算得鸡母、鸡雏共100－4=96只，共值钱100－5×4=80。假定96只全是鸡雏，所值钱要比实际少，每换进鸡母1只，所值钱应增加，算得鸡母数是[①古法在解含有分数的问题时要用“通分”，在这个算中，所谓通分是把被除数和除数都依分母的数扩大3倍，就是（3×80－96）+（3×3－1）=18]，鸡雏数是，就是前举的第一种解答。这种算法虽然合理，但嫌迂回曲折。

此后，直到清代，才有丁取忠用“二色差分”的方法来解百鸡题。二色差分也就是杨辉所称的双率分身，但是他不用从1起的各整数顺次假定是鸡翁数来计算，而是假定鸡翁数是零，算得鸡母、鸡雏数以后再用四、七、三来增减的。我们猜想，丁取忠的这个算法可能是由下述的过程创造出来的：

《张丘建算经》所示的四、七、三既然可以用来把一组答案增减而得另一答案，那么不妨再把最后一种答案继续增减，看它是否还有第四组答案，这样经过增减后，得鸡翁十六，鸡母负三，鸡雏八十七，因为鸡数不应该是负数，所以这一组数是不适用的。再用四、七、三从第一组答案逆推（即增改做减，减改做增），得鸡翁零，鸡母二十五，鸡雏七十五，其中没有鸡翁，虽然不合题意，但从此却可以推知原书解法所以会这样简略的原因。丁取忠大概是假定张丘建在开始计算时把鸡翁当作没有的。如果是这样，那么一百钱买两种鸡共一百只，就成了一个鸡兔类的问题，用交换法可求得鸡母二十五，鸡雏七十五，再用四、七、三增减，这个问题就完全解决了。

关于四、七、三这三个数的来历，在《张丘建算经》里也没有提到。我们认为这也可能是照上面所讲的方法推算出来的。这就是说，我们先假定没有鸡翁，用交换法求得鸡母数是25，鸡雏数是75；再假定没有鸡雏，用同法求得鸡翁数是-100，鸡母数是200，于是计算两个结果的差额（前者比后者增或减），得鸡翁增0－（-100）=100，鸡母减200－25=175，鸡雏增75－0=75，再以25约简就得。

由前面所举的方程（1）和（2）来考察，我们知道，百鸡问题有三个未知数而仅能列成两个方程，它是一个不定方程问题，不定方程的解答原来可以多到无穷，但因本题的答案限于正整数，所以仅有三种。