第1章 集合与函数的概念

1.1　集合间的关系

例1　设全集U={x|0<x<10，x∈N*}，若A∩B={1}，A∩(∁UB)={3，5，7}，(∁UA)∩(∁UB)={8}，求集合A，B。

【解析】

由集合U中不等式0<x<10(x∈N*)解得x=1，2，3，4，5，6，7，8，9，则U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}。

因为A∩B={1}，A∩(∁UB)={3，5，7}，所以1，3，5，7∈A，1∈B，3，5，7∉B。又(∁UA)∩(∁UB)={8}，所以8∉A，8∉B，则A={1，3，5，7}，B={1，2，4，6，9}。

简要评注

本题条件较多，像上述解答直接分析条件显得较为麻烦，若借助Venn图可以把每一部分的关系清楚地表示出来的话，问题就迎刃而解了。

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编号：179297

扫描二维码，打开课件，如图1.1.1~图1.1.6所示，点击相应按钮，领会A∩B，A∩(∁UB)，B∩(∁UA)，(∁UA)∩(∁UB)的含义，点击按钮“解答”，将已知集合中元素填入相应区域，即可求得A={1，3，5，7}，B={1，2，4，6，9}。

例2　定义集合A和B的运算A*B={x|x∈A且x∉B}，下列命题：①A*(A∩B)=(A∪B)*B；②(A*B)∩(B*A)=[A*(A∩B)]∪[B*(A∪B)]；③B*(A∩B)=(A∪B)*A；④(A∪B)*(A∩B)=(A*B)∪(B*A)，其中正确命题的个数是（　　）。

A．1个

B．2个

C．3个

D．0个

【解析】

A*B={x|x∈A且x∉B}，则A*B即为属于A而不属于B的元素构成的集合。

若x∈A*(A∩B)，则x∈A且x∉A∩B，即x∈A且x∉B。

若x∈(A∪B)*B，则x∈A∪B且x∉B，即x∈A且x∉B。

所以A*(A∩B)=(A∪B)*B，即①正确。

若x∈(A*B)∩(B*A)，则x∈A*B且x∈B*A，由A*B定义可得x∈∅，即(A*B)∩(B*A)=∅。

若x∈[A*(A∩B)]∪[B*(A∪B)]，则x∈A*(A∩B)或x∈B*(A∪B)，故x∈A且x∉B，即[A*(A∩B)]∪[B*(A∪B)]=A∩(∁UB)，所以②错误。

同理可判断③④正确，故选C。

简要评注

本题实质上为多选题，根据题目中的条件直接判断，不易得出正确答案，若借助Venn图求解，则方便快捷得多。

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编号：179287

扫描二维码，打开课件，如图1.1.7所示，点击按钮“A*B”理解A*B的意义，如图1.1.8所示，分别点击右侧按钮，对照题中各命题左右两边，考察各命题的真假，即可确定①③④正确。

例3　已知集合A={x|a+1≤x≤4a+1}，，且A⊆B，则实数a的取值范围是（　　）。

A．0<a<1

B．0≤a≤1

C．a<1

D．a≤1

【解析】

由(x+3)(5-x)≥0得B={x|-3≤x≤5}，当A=∅时，A⊆B成立，即有当a+1>4a+1时成立，所以a<0满足题意。

当A≠∅时，要使A⊆B成立，需，解得0≤a≤1。

综上所述a≤1，故选D。

1．本题有两点易错之处，一是对A⊆B的认识不足而忽视A=∅的情形，应注意：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。二是对含有参数的集合在参数没有限定范围时，要注意有A=∅和A≠∅两种情形。

2．A≠∅时，借助数轴便能更快地得到不等式组。

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编号：174876

扫描二维码，打开课件，红色、黑色区域分别表示集合A、B，拖动变量a的滑杆或x轴上的红点可以改变实数a的值，从而改变集合A所在区域，探求A⊆B的条件，图1.1.9~图1.1.11所示为其中的几种情形。

例4　设A={(x，y)|x2+(y-1)2=1}，B={(x，y)|x+y+m≥0}，则使A∩B=A成立的实数m的取值范围是________。

【解析】

因为A={(x，y)|x2+(y-1)2=1}，B={(x，y)|x+y+m≥0}且A∩B=A，所以当x2+(y-1)2=1时x+y+m≥0恒成立，即m≥-x-y恒成立。

令x=cosθ，y=sinθ+1，则，即m≥，故m的取值范围是。

简要评注

A={(x，y)|x2+(y-1)2=1}，B={(x，y)|x+y+m≥0}，集合A是圆x2+(y-1)2=1上的点的集合，集合B是不等式x+y+m≥0表示的平面区域内的点的集合，若将集合间的包含关系问题转化为直线与圆的位置关系即可快速求解。

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编号：175073

扫描二维码，打开课件，如图1.1.12、图1.1.13所示，红色实线表示集合A中元素所对应的点，粉色区域代表集合B中元素所对应的点，拖动变量m的滑杆可以改变实数m的值，探究圆包含在粉色区域内时直线与圆的位置关系。

集合A是圆x2+(y-1)2=1上的点的集合，集合B是不等式x+y+m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A∩B=A，即要A⊆B，则应使圆被平面区域所包含（如图1.1.13所示），即直线x+y+m=0应与圆相切或相离（在圆的左下方）。

当直线与圆相切时，有，又-m<0，即m>0，故，而当直线与圆相离时，有，即。

故m的取值范围是。

练习1　已知集合A=(-1，1]，B=(a，a+3)，A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________。

编号：174877

答案：(-4，1)

练习2　设集合U={a，b，c，d，e}，若A∩B={b}，(∁UA)∩B={d}，(∁UA)∩(∁UB)={a，e}，则元素c在哪里？

编号：179350

答案：c∈(∁UB)∩A

练习3　已知集合和集合B={(x，y)|x2+(y-1)2≤r2(r>0)}，若A∪B=A，则r的取值范围是________。

编号：175074

答案：0<r≤1