第一章 大数

1．你最大能数到几

有一则故事讲的是两位匈牙利贵族在玩一个数字游戏，如果谁说出的数字最大，那么就算谁赢。

“好吧，”其中一个人说，“先说出你的数字吧。”

在经过几分钟绞尽脑汁的思索之后，另一个人给出了他能想到的最大数字。

“3。”他说。

现在轮到第一个人了，但是在思考了足足一刻钟之后，他放弃了。

“你赢了。”他心服口服地说。

当然，这两位匈牙利贵族并不一定智力过人，也可能这个故事根本就是胡编乱造的谣传。但如果这两位贵族不是匈牙利人而是霍屯督人的话，那么这样的对话也不足为奇。我们确实从非洲探险家的权威报告中获悉，许多霍屯督部落还没有相应的词汇来表述大于3的数字，你问一个当地土著他有几个儿子，或者问他杀了多少个敌人，如果这个数字大于3，那么他的回答就是“许多”。因此，在霍屯督人的国度里，就数数这件事而言，勇猛的武士也会被美国幼儿园里自吹能数到10的孩子虐得“体无完肤”吧。

现在，只要我们想，多大的数字都能写出来，我们对此已经习以为常了，无论是以美分为单位来计算军费支出，还是以英寸为单位来测量星际距离，只需要在一定的数字右边加足够多的零就行了，你可以加零加到手酸，但是在你还没感觉到手酸之前，你可能已经写出了一个比全宇宙原子总数[1]还大的数字，譬如300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000，或者你也可以简写成：3×1074。

10右边的上标数字74表示需要书写出来的零的个数，也就是说，这个数字意味着3要用10乘上74次。

但是古代没有这种“算术如此简单”的表示方法，实际上，这是由印度一位不为人知的数学家发明的，距今还不到两百年的时间。在这个伟大发明之前——虽然我们平时意识不到，但这的确是一个伟大的发明——人们经常用一些特殊的符号来记数，我们现在称之为十进制单元，通过重复书写来表示相应数位上的数值，例如，古埃及人是这样书写数字8732的：

而在恺撒大帝时期，办公室职员用下面这种形式书写：

MMMMMMMMDCCXXXII

上面这些数字符号你一定不会觉得陌生，因为在现代的某些特定场合，我们还是会使用到罗马数字，用以表示书籍的卷册或章节，或在雄伟的纪念碑上标注历史事件的日期等。但是，古代会计学涉及的数字最大不会超过几千，因此更大的十进制单元符号并不存在。对一个古罗马人来说，无论他在算术方面的造诣有多高，当被要求写出“一百万”的时候，他也会表现得相当窘迫，对于这种要求，他能写出的最好答案恐怕就是连续写一千个“M”了吧，这可是一项需要花费数小时才能完成的艰难工作啊（图1）。

对古人而言，天上的星星、海里的鱼、沙滩上的沙粒都是不可计数的，就像霍屯督人对“3”的感情一样，只能用“许多”来表述。

公元3世纪，著名的科学家阿基米德用他过人的才智，向世人证明了大数是可以被书写的，他在《数沙者》中这样写道：

“有人认为沙粒的数量是无限的，我这里所说的沙粒不只是存在于锡拉库萨（意大利西西里岛东部港口城市）或西西里岛的，还包括地球上的其他所有地方，无论那里是否有人居住。当然，也有人认为这个数字不是无限的，只是想不到一个足够大的数来定义地球上沙粒的数量。但对持这种观点的人来说，有一点很明确，那就是如果把地球想象成一个大沙球，并用沙子把上面所有的海洋和凹陷地带填得与最高峰一样高，他们会更加确信没有一个数能够表示这个大沙球里沙粒的数量。但是，我将用我定义数字的方法来向你们展示，不仅是这个大沙球，就连和整个宇宙一样大的大沙球中包含沙粒的数量都可以表示出来。”

阿基米德提出的大数书写方法与现代科学上的方法相似，古希腊算术中，最大的数字“myriad”就是他提出来的，也就是现在的“万”，然后他又引出新数字“万万”，他称之为“亿”或者“二阶单元”，“亿亿”就是“三阶单元”，“亿亿亿”就是“四阶单元”，依此类推。

花几页纸写一个大数，虽然看上去有些小题大做，但在阿基米德那个时代，能找到一种书写大数的方法就算是很伟大的发明了，是数学学科发展史上的一大进步。

要算出填满整个宇宙需要用到的沙粒数，阿基米德必须先知道宇宙有多大。在那个时代，人们普遍认为宇宙就是一个大水晶球，星星附着其上，与他同时期的学者阿里斯塔克斯（古希腊著名的天文学家）估算从地球到宇宙边缘的距离约为10亿英里[2]。

通过对比宇宙和沙粒的大小，并经过一系列复杂的计算之后，阿基米德得到了最终结果：

“很明显，按照阿里斯塔克斯给出的尺寸计算，宇宙所能装下的沙粒数量不会比一千万的‘八阶单元’大。”[3]

不难发现，阿基米德估算的宇宙半径要比现代科学家认为的小得多，一千万英尺[4]只不过比太阳到土星的距离大一点点而已。利用天文望远镜，我们将会探索宇宙的边界至5 000 000 000 000 000 000 000英里，到时候，填满宇宙所用的沙粒数量会超过10100（也就是1后面有100个0）。

当然，这个数要比本章开篇提及的全宇宙原子总数3×1074大得多，但是我们可不要忘了，宇宙并不是由原子填满的，实际上，平均每立方米空间才只有一个原子。

当然我们完全没有必要为了得到很大的数字，而做这种用沙粒填满宇宙的疯狂事，其实，有很多乍一看很简单的问题会涉及大数，只是刚开始你想不到这个数会比几千还大。

传说有一次，印度的舍罕王着实被算术问题给难倒了，他想赏赐一位发明并赠予他象棋的大臣西萨·班·达依尔，而这位聪明的大臣却十分谦逊地跪在舍罕王的面前说：“陛下，如果您真想赏赐我的话，那就赐予我一棋盘的麦子吧，不过我有个要求，那就是在棋盘上第一个方格中放一粒麦子，在第二个方格中放两粒麦子，在第三个方格中放四粒麦子，在第四个方格中放八粒麦子，依此类推，下一格中的麦子永远是前一格中麦子的两倍，一直到最后一个（第64个）方格为止。”

“你要的也不多嘛，我的爱卿。”舍罕王大声地说，但心里却默默地在想，对这位象棋发明者的慷慨赏赐并不会花费他太多，并因此感到窃喜。“我一定会满足你的要求的。”然后他就命令侍从运来了一袋小麦（图2）。

但是当按照第一格一粒、第二格两粒、第三格四粒这样的规则开始计数之后，在还不到第二十个方格的时候，袋子就已经空了。越来越多的小麦被运送过来，但由于麦粒的需求成倍增加，不一会儿舍罕王就明白了，即使把皇室所有的粮食都运过来也满足不了西萨·班·达依尔的要求，而要满足他的要求一共需要18 446 744 073 709 551 615粒麦子[5]！

这个数字与全宇宙的原子总数相比也不算太大，我们假设1蒲式耳（英式计量单位，等于36.4升）小麦约有5 000 000粒，那么一共需要400亿蒲式耳的麦子才能满足西萨·班·达依尔的要求。而当时全世界小麦的平均年产量约为2 000 000 000蒲式耳，因此，满足这位首席大臣的要求恐怕得等上2 000年。

这让舍罕王觉得自己深陷债务之中，而摆在他面前的选项有两个，一个是砍掉大臣的脑袋，另一个是永无止境地偿还，我想他肯定选择了前者。

另一个以大数为主角的故事也发生在印度，讲的是关于“世界末日”的话题，酷爱数学的历史学家鲍尔向我们讲述了这个故事[6]：

在象征世界中心的贝拿勒斯（位于印度北方邦东南部，印度教圣地）的一个神殿里，安放着一块铜板，铜板上面固定着三根宝石针，均为1脘尺（1腕尺约等于20英寸[7]）高，粗细和蜜蜂的身体差不多。梵天创世之时，在其中一根针上穿了64片纯金的盘片，贴着铜板的那片最大，然后往上依次变小，这就是梵天塔。祭司不分昼夜地将这些金盘从一根宝石针上转移到另一根上，按照梵天定律的要求，祭司一次只能转移一个金盘，并且小金盘不能置于大金盘之上。当64个金盘从创世之时的那根宝石针上全部转移到另一根上的时候，塔、神殿，还有婆罗门众神就会轰然崩塌，化为尘埃，而伴随着一声惊雷，世界也会化为乌有。

图3描绘的就是这个故事，只不过图中画出的金盘数量不足64个。你可以用几个普通的圆纸板代替金盘，用3个洋钉代替宝石针，把这个印度神话中令人迷惑的祭祀玩具做出来。按照定律要求，找到规律并不难，你会发现，移动一个金盘到另一根宝石针上所需要的动作次数是移动上一个金盘的两倍。移动第一个金盘只需要动作一次，但移动后面的金盘所需要的动作次数将以几何倍数增长，当把所有64个金盘移完所需要的动作次数将和西萨·班·达依尔所要求的小麦粒数一样多[8]。

那么问题来了，把64个金盘从一根宝石针移到另一根上需要花费多长时间呢？我们假设祭司1秒钟移动一次金盘，而且他不分昼夜地工作，没有休息日，也没有假期，一年有31 558 000秒，这样算下来，他需要花超过5 800亿年的时间才能完成这项工作。

把这种关于宇宙寿命纯传说性质的预言与现代科学的预测作比较是一件十分有趣的事。根据目前的宇宙演化理论，大约30亿年前，恒星，以及包括我们地球在内的行星，形成于一片混沌之中。此外，我们还知道，使恒星，尤其是太阳发光发热的“原子燃料”还能持续燃烧100亿～150亿年（见第十一章 “创世”的年代）。因此，宇宙的全生命周期绝不会超过200亿年，而没有像印度传说中估计的5 800亿年那么长。毕竟那只是个传说而已。

在文学作品中出现的最大数字应该是著名的“印刷行数问题”。假设我们造出了这样一台印刷机，它可以一行接一行连续不断地印刷，并且能自动地为每一行选出不同的字母加符号组合。这台机器的压印滚筒由有许多独立的、带有字母或符号印章的碟盘组成，这些碟盘就像汽车里程表上的数字碟盘一样组装在一起，每当上一个碟盘转动一周，下一个碟盘就会转动一格，而纸张在辊轴带动下，自动地压在压印滚筒上，完成印刷。制造这样一台自动印刷机并不困难，它大概的样子如图4所示。

接下来，让我们启动这台机器，看一下它的印刷结果。每个印刷行的内容均不相同，并且有很多印刷行的内容根本就不成句子，比如：“aaaaaaaaa…”，或者“boobooboobooboo…”，再或者“zawkporpkossscilm…”。

但由于这台机器可以印刷出任何可能的字母和符号组合，我们也可以在这些文字垃圾中发现一些有用的句子，有许许多多像下面这样的废话：“马儿有六条腿……”，或者“我喜欢吃用松脂煎的苹果……”。

但搜索一番，我们也会发现几行莎士比亚写的诗句，甚至包括那些他自己扔进废纸篓的诗句。

实际上，这样一台自动印刷机可以打印出人们学会写字以来所写出的任何句子：每一行散文或诗歌、报纸上的每一篇社论或广告、每一卷沉重的科学论文、每一封情书、每一封写给送奶工的信，等等。

此外，这台机器还能打印出未来几个世纪将会出现的所有文字。从压印滚筒下面出来的报纸上，我们可以看到30世纪的诗歌、未来的科学发现、美国第500届国会上的演讲，以及对2344年星际交通事故的记述；会有一页又一页的从来没有人写过的短篇或长篇小说出现；而拥有这种自动印刷机的出版商只需从大量的文字垃圾中挑选和编辑几段，就能得出一篇好文章——现在的出版商正在这么干。

既然如此，那为什么不能这样做呢？

好吧，让我们来数一数，如果这台机器把所有可能的字母和符号组合全都打印出来，那它印刷出来的行数是多少？

26个英文字母、10个数字（0,1, …,9）、14个常用符号（空格、句号、逗号、冒号、分号、问好、感叹号、破折号、连字符、引号、省略号、方括号、圆括号、大括号）：一共50个字符。我们假设压印滚筒由65个碟盘组成，与应印刷行上大小相等的65个方格一一对应，每个印刷行可以由这50个元素中的任何一个打头，也就是说第一个方格有50种可能；当指定了第一个方格中的元素后，第二个方格中的元素也有50种可能，至此，会出现的组合数已经达到了50×50=2 500个了；而当前两个方格的组合给定之后，第三个方格也有50种可能，依此类推，整个印刷行上的文字组合数为：

即5065，它等于10110。

为了更直观地认识这个庞大的数字，我们假设宇宙中每一个原子都代表一台单独的印刷机，这样我们就有3×1074台印刷机同时运转。再作进一步的假设，所有印刷机从宇宙形成以来，就一直不停地运转，即30亿年或1017秒，并且以原子振动的速率印刷，即每秒印刷1015行。那么，到现在为止，它们应该已经印刷了3×1074×1017×1015=3×10106（行），这才仅是我们想要的那个数字的三千分之一而已。

没错，想要在这台印刷机打印出的海量材料中甄选出一些有实质性内容的文字，无疑要花费很长很长的时间。

2．无穷大数如何计数

在上一节中，我们讨论了数字，其中有许多相当大的数字。尽管西萨·班·达依尔所要求的麦粒数量大到令人咋舌，但它仍然是有限的，只要给的时间足够多，一个人还是能够把最后一位给写出来的。

但的确有一些无穷大的数，它们比我们可以写出的任何数都要大，不管我们花多长时间都写不出来。比如，“所有数字的个数”显然是不确定的，“线段上的所有点”也是如此。关于这些数字，除了无穷大之外，还有什么要交代的吗？或者说，有没有可能，把两个无穷大的量作比较，看哪一个“更大”？

“所有数字的个数和线段上的所有点，孰大孰小？”问这样的问题有意义吗？这样的问题乍一听有些搞怪，但却是著名的数学家格奥尔格·康托尔（见图5）深思熟虑后提出来的，他才是“无穷算术学”真正的奠基人。

如果我们非得谈论两个无穷数孰大孰小，那我们将面临一个问题，那就是我们不能把它们定义或书写出来，这和一个霍屯督人打开宝箱查看自己的水晶念珠和铜币哪一样多的处境如出一辙。但是，正如你们所知，霍屯督人数不到3以上。那么，霍屯督人会因为无法数出水晶念珠和铜币的数目而放弃比较吗？肯定不会。如果他足够聪明，他会把水晶念珠和铜币一一比较，从而得到他的答案。他会在一个水晶念珠旁边放上一枚铜币，在第二个水晶念珠旁边放上第二枚铜币，依此类推。如果他用光了所有的水晶念珠之后，还有铜币剩余，他就会知道他拥有的铜币比水晶念珠多；反之，用光了铜币还有水晶念珠剩余，那就是水晶念珠比铜币多；如果两样同时用完，那他就知道水晶念珠和铜币一样多。

康托尔提出了与此相同的方法，用于比较两个无穷数。假设我们可以把两个无限集合中的对象两两比对，其中一个无限集合里的每一个对象都可以与另一个无限集合里的对象比对，而且比对之后，两个无限集合均无剩余对象，那么就说这两个无穷数是相等的。但是，如果这种比对方法无法实现，或者其中一个无限集合有对象剩余，那我们就说这个无限集合所对应的无穷数比另一个更大，或者说更强。比较两个无穷数，这显然是最合理的方法，事实上也是唯一可行的方法，但当我们开始付诸实践的时候，一定要做好接受惊喜的准备。举个例子，所有偶数组成的无限集合与由所有奇数组成的无限集合，你当然会直觉地感到偶数和奇数一样多，因为这和上面的方法完全一致，这些数可以进行一对一的比对：

上面，每个奇数都有一个偶数与之对应，反之亦然，因此偶数的无穷数等于奇数的无穷数。这真是再简单和自然不过了！

但是，等一下。你认为包括偶数和奇数的所有整数的个数和偶数的个数哪个大？当然，你会说所有整数的个数更大，因为它囊括了所有的偶数和所有的奇数。但这只是你的印象，为了得到准确的答案，你必须运用上面的方法来比较这两个无穷数。比较之后，你会惊讶地发现你的印象是错误的。下面是所有数字一一对应的列表，上面一列是所有数字，下面一列只有偶数。

根据我们比较无穷数的规则，我们不得不承认偶数数列的无穷数和所有数字的无穷数一样大。当然，这句话听上去是矛盾的，因为偶数只是所有数字的一部分，但是有一点你要清楚，我们是站在无穷数的层面来作比较的，所以必须做好与不同特性“不期而遇”的思想准备。

实际上，在无穷数的世界里，部分可能与全体相等！阐述这个观点最好的例子是关于著名的德国数学家大卫·希尔伯特的一个故事。关于无穷数特有的矛盾特性，希尔伯特在讲座中这样讲道[9]：

“让我们想象一个房间数量有限的旅馆，假设所有的房间都有人住。一位新客人来了，想要开一个房间，旅馆老板说：‘很抱歉，所有的房间都有人住了。’现在我们再想象一个有无数个房间的旅馆，所有的房间都有人住了，来了一位新客人，想要开一个房间。

“‘当然可以！’旅馆老板高声回应，他让原来住进1号房间的人搬到2号房间，住进2号房间的人搬到3号房间，3号房间的人搬到4号房间，依此类推……在进行了一番调换之后，1号房间空了出来，新客人得以顺利入住。

“让我们想象一下，现在有一家无限多房间的酒店，所有的房间都住了人，而且又有无限多的新客人想要入住。

“‘当然可以，先生们！’酒店说，‘请稍等。’

“他把1号房间的住客安排到2号房间，把2号房间的住客安排到4号房间，把3号房间的住客安排到6号房间，……依此类推。

“现在所有的偶数房间都空了出来，无限多的新客人就可以安排入住了。”

即使在战时的华盛顿，希尔伯特所描述的情形也是很容易想见的，这个例子能使人明白的一点是：无穷数的一些特性与我们习以为常的普通算术的情况是截然不同的。

利用康托尔法则，我们现在可以证明全体分数（像或者）的个数与全体整数的个数是相等的。事实上，我们可以把所有的分数排成一行：先写出分子、分母之和为2的分数，很显然只有这一个；然后再写出分子、分母之和为3的所有分数：和；再写出分子、分母和为4的分数：、、，等等。如此写下去，我们将得到一个无穷的分数数列，凡是你能想到的分数全部包括在内。现在，我们再来写整数数列，你要把这两个数列做到一一对应，到这儿你就会发现它们的个数是一样多的。

“嗯，这很棒，”你可能会这样说，“但这是不是意味着所有的无穷数都是相等的呢？如果是这样的话，把它们作比较又有什么用呢？”

不，不是这样的，我们很容易就能找到一个比整数个数或分数个数更大的无穷数。

我们回头看一下本章开篇提出的那个问题：线段上所有点的数量与全体整数的数量哪个大？我们会发现这是两种不同类型的无穷数，线段上所有点的数量要比全体整数或全体分数的数量多得多。为了证明这个命题，我们试着建立一种线段上所有点和全体整数之间一一对应的关系。

线段上的每一个点都可以通过它与线段端点的距离来表示，这个距离可以写成无限小数的形式，比如0.735 062 478 005 6…或者0.382 503 756 32…[10]，因此我们要比较的对象变成了全体整数的数量和全体无限小数的数量。那么问题来了，上面给出的无限小数与普通的算术分数（像或者）之间又有什么不同呢？

你一定还记得，数学课上老师讲过，每一个分数都可以写成一个无限循环小数，比如， 。前面我们已经证明过，全体普通算术分数的个数等于全体整数的个数，因此全体无限循环小数的个数也等于全体整数的个数。但是线段上的点并不一定都可以用无限循环小数来表示，在更多的情况下，我们得到的无限小数并没有表现出任何周期性，而且也很容易判断出，在这种情况下是无法进行线性比对的。

假设有人说自己了以下的对比排列，它看起来是这样的：

事实上，无限小数是无法完全写出来的，从上面的对比我们可以看出制表人所采用的比对方法（这和我们列出分数数列的方法有些类似）可以保证每一个无限小数都被列出。

要证明这个方法是错误的一点也不困难，因为我们随时可以写出一个不包含在这个无限列表中的无限小数。那我们具体该怎么做呢？很简单，只需要写出一个无限小数，其十分位上的数字与表中第一号小数的第一小数位不同，其百分位上的数字与表中第二号小数的第二小数位不同，依此类推。那么，你写出来的数字是这个样子的：

不管顺着那个列表往下找多久，你永远都找不到这个无限小数。事实上，如果制表人对你说，你写的这个小数处在表中的第137行（或者其他行），那么你就可以斩钉截铁地回答：“不可能，那不是同一个小数，因为我写的这个小数的第137位与表中第137行的小数不一样。”

因此，我们不可能在线段上的点与整数之间建立起一一对应的关系，这就意味着线段上所有点的数量对应的无穷数要比全体整数的数量对应的无穷数更大，或者说更强。

我们一直在讨论“长度为单位1”的线段上的点，根据我们的“无穷算数学”的法则，很容易证明任意长度的线段也是一样。实际上，无论线段长度是1英寸、1英尺还是1英里，上面点的数量都是相同的。为了证明这一点，请参见图6，它比较了两条长度不同的线段AB和AC上点的个数。为了找到这两条线段上点之间的对应关系，我们从AB上的每一点出发画出一条平行于BC的线，并将这条线与AC的交点与AB上的点配对，比如D和D＇、E和E＇、F和F＇等。AB上的每个点在AC上都有一个点与之对应，反之亦然。因此，根据我们的比对法则，两条线段上的点数相等。

利用这种无穷大的分析方法可以得到一个更让人震惊的结论，即平面上点的数量等于直线上点的数量。为了验证这个结论的正确性，我们分析一下长度为1英寸的线段AB上的点，以及边长为1英寸的正方形CDEF内的点（见图7）。

线段AB上的任一点都可用一个确切的小数表示出来，以0.751 203 86…这个点为例，我们可以把它拆分成两个不同的小数，分别将其小数点后的奇数位和偶数位上的数字组合在一起，可以得到

0.710 8…

还有

0.523 6…

在正方形CDEF上找到纵、横坐标分别为上面两个小数的点，这个点就是线段AB上那个点的对应点。反之，如果正方形CDEF上某个点的位置可以用小数0.483 5…和0.990 7…来描述，我们也可以将两数合并，得到这个点在线段AB上的对应点：

0.498 930 57…

显然，这个过程在两个点集之间建立起了一种一一对应的关系，线段AB上的每一点在正方形CDEF上都有对应点，正方形CDEF上的每一点在线段AB上也都有对应点，并且两个点集都不会有多余的点。因此，根据康托尔法则，正方形CDEF上点数对应的无穷数等于线段AB上点数对应的无穷数。

同样，我们也很容易证明一个立方体内点数对应的无穷数与一个正方形或一条线段上点数对应的无穷数也是相等的。为了证明这一点，我们只需将原来的小数分解成3个[11]，用得到的3个小数作为三维坐标来确定立方体内对应点的位置。而且，和长度不同的两条线段一样，正方形上或立方体内点的数量与它们的尺寸无关。

但是，所有几何点的个数，虽然比所有整数和小数的个数要大，但在数学家看来，却不是最大的。事实上，人们还发现，各种各样的曲线，包括那些形状最不规则的曲线，其包含点的个数要比所有几何点的个数更大，因此必须用无穷数里的第三个数来描述（见图8）。

格奥尔格·康托尔在《无穷算术》一书中写道，无穷数可以用右边带有数字下标的希伯来字母א（读作“阿莱夫”）表示，下标数字表示无穷数的等级。那么包括无穷大在内的量数数列就可以写成：

1,2,3,4,5…, א1, א2, …

我们可以说“线段上有א1个点”，或者“一共有א2条曲线”，就像我们说“世界上有七大洲”或者“一副牌有52张”一样。

最后，对我们所讨论的无穷数作一下总结，你想当然地认为这些数字可以应用到某些集合，可事实上它们却大得超乎你的想象。我们知道א0表示所有整数和小数的数量，א1表示所有几何点的数量，א2表示所有几何曲线的数量，但却没有人能想象任何一个能被א3所表示的集合。好像只用无穷数中的前三个就足以计量任何我们所能想到的东西了，这和虽有很多儿子却不能数超过3的霍屯督人的处境正好相反！