1.2　CFD基本模型

流体流动所遵循的物理定律，是建立流体运动基本方程组的依据。这些定律主要包括质量守恒定律、动量守恒定律、动量矩守恒定律、能量守恒定律、热力学第二定律。在实际计算时，还要考虑流体的不同流态，如层流与湍流。

1.2.1　基本控制方程

1. 系统、控制体与常用运算符

在流体力学中，系统是指某一确定流体质点集合的总体。系统以外的环境称为外界，分隔系统与外界的界面称为系统的边界。系统通常是研究的对象，外界则用来区别于系统。系统将随系统内质点一起运动，系统内的质点始终包含在系统内，系统边界的形状和所围空间的大小，则可随运动而变化。系统与外界无质量交换，但可以有力的相互作用，及能量（热和功）交换。

控制体是指在流体所在的空间中，以假想或真实流体边界包围，固定不动、形状任意的空间体积。包围这个空间体积的边界面，称为控制面。控制体的形状与大小不变，并相对于某坐标系固定不动。控制体内的流体质点的组成并非不变。控制体既可通过控制面与外界进行质量和能量交换，也可以直接与控制体外的环境有力的相互作用。

本书用到的一些数学符号如下所示

梯度 　　　　　 （1-38）

散度 　　　　　 （1-39）

旋度 　　　　　 （1-40）

式中，。

（1-41）

（1-42）

（1-43）

式中，称为拉普拉斯算子。

2. 连续性方程

在流场中，流体通过控制面流入控制体，同时也会通过另一部分控制面流出控制体，在这期间控制体内部的流体质量也会发生变化。按照质量守恒定律，流体流入的质量与流出的质量之差应该等于控制体内部流体质量的增量，由此可导出流体流动连续性方程的积分形式为

（1-44）

式中，V表示控制体，A表示控制面。等式左边第一项表示控制体V内部质量的增量，第二项表示通过控制表面流入控制体的净通量。

根据数学中的奥-高公式，在直角坐标系下可将其化为微分形式

（1-45）

对于不可压缩均质流体，密度为常数，则有

（1-46）

对于圆柱坐标系，其微分形式为

（1-47）

对于不可压缩均质流体，密度为常数，则有

（1-48）

3. 动量方程（运动方程）

动量守恒是流体在运动时应遵循的另一个普遍定律，其描述为：在一给定的流体系统中，其动量的时间变化率等于作用于其上的外力总和。其数学表达式即为动量方程，也称运动方程或N-S方程，其微分形式如下

（1-49）

式中，、、分别是单位质量流体上的质量力在3个方向上的分量，是流体内应力张量的分量。

运动方程在实际应用中有许多表达形式，其中比较常见的有如下几种。

1）可压缩黏性流体的运动方程

（1-50）

2）常黏性流体的运动方程

（1-51）

3）常密度常黏性流体的运动方程

（1-52）

4）无黏性流体的运动方程（欧拉方程）

（1-53）

5）静力学方程

（1-54）

6）相对运动方程。在非惯性参考系中的相对运动方程是研究大气、海洋及旋转系统中流体的运动所必须考虑的。由理论力学得知，绝对速度为相对速度与牵连速度之和，即

（1-55）

其中，为运动系中的平动速度，是转动角速度，为质点矢径。

而绝对加速度为相对加速度、牵连加速度及科氏加速度之和，即

（1-56）

其中，。

将绝对加速度代入运动方程（1-49），得到流体的相对运动方程

（1-57）

4. 能量方程

将热力学第一定律应用于流体运动，把上式各项用有关的流体物理量表示出来，得到能量方程

（1-58）

式中，；是有效热传导系数，，其中是湍流热传导系数，根据所使用的湍流模型来定义；是组分j的扩散流量；包括了化学反应热及其他用户定义的体积热源项。式（1-58）等号右边括号中的3项分别描述了热传导、组分扩散和黏性耗散带来的能量输运。

1.2.2　湍流模型

湍流是自然界广泛存在的流动现象。大气层中气体的流动和海洋环境中水流的流动，飞行器和船舰的绕流，叶轮机械、化学反应器、核反应器中的流体运动都是湍流。湍流流动的核心特征是其在物理上近乎无穷多的尺度和数学上强烈的非线性，这使得人们无论是通过理论分析、实验研究还是计算机模拟都很难彻底认识湍流。20世纪80年代，相关人员提出和发明了一大批高精度、高分辨率的计算格式，相当成功地解决了欧拉方程的数值模拟，可以说欧拉方程数值模拟方法的精度已接近于它有效使用范围的极限；欧拉方程也能适用于各种实践所需。在此基础上，研究人员同时进行了求解可压缩雷诺平均方程及其三维定态黏流流动的模拟。20世纪90年代开启了一个非定常黏流流场模拟的新局面，黏流流场具有高雷诺数、非定常、不稳定、剧烈分离流动的特点，需要继续探求更高精度的计算方法和更实用可靠的网格生成技术，因此研究湍流机理，建立相应的模式，并进行适当的模拟仍是解决湍流问题的重要途径。

1.湍流模型的分类

湍流模型的种类有很多，大致可以归纳为以下3类。

第1类是湍流输运系数模型，即将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流黏性系数的乘积，用笛卡儿张量表示为

（1-59）

模型的任务就是给出计算湍流黏性系数的方法。根据建立模型所需要的微分方程的数目，还可将其细分为零方程模型（代数方程模型）、单方程模型和双方程模型。

第2类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其他二阶关联量的输运方程，称为直接数值模拟。

第3类是大涡模拟。前两类模型是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维修正的N-S方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用第1类湍流模型。

在实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。选择的一般原则是：精度高，应用简单，节省计算时间，具有通用性。

Fluent 提供的湍流模型包括：单方程模型（Spalart-Allmaras模型）、双方程模型［标准（Standard）模型、重整化群（Renormalization Group，RNG）模型、可实现的（Realizable）模型］、雷诺应力（Reynolds Stress）模型和大涡模拟（Large Fddy Simulation，LES）。

2. Fluent中的湍流模型选择策略

选取湍流模型需要考虑的因素有：流体是否可压、精度的要求、计算机的能力、时间的限制等。Fluent中湍流模型详解如图1-1所示，各湍流模型的应用范围及特点说明如下。

（1）Spalart-Allmaras模型

Spalart-Allmaras模型由Spalart-Allmaras提出，用来解决因湍流动黏滞率而修改的数量方程，主要是壁面约束的流动，且已经显示出很好的效果。

应用范围：多用于航空领域、透平机械，对于有壁面约束的空气流动问题应优先选用此模型。

该模型有以下特点。①Spalart-Allmaras模型是相对简单的单方程模型，只需求解湍流黏性的输运方程，不需要求解剪切层厚度的长度尺度；由于没有考虑长度尺度的变化，对一些流动尺度变换比较大的流动问题不太适合。例如平板射流问题，从有壁面影响的流动突然变化到自由剪切流，流场尺度变化明显。②该模型的输运变量在近壁处的梯度要比模型中的小，表现出对网格粗糙带来的数值误差不太敏感。③该模型不能预测均匀衰退、各向同性湍流等复杂的工程流动问题。

（2）模型

1）标准模型。

在Fluent中，标准模型的系数由经验公式给出，计算比较稳定，自从被Launder和Spalding提出之后，标准模型就变成了工程分析计算中的主要工具。现有研究表明，对于简单的充分发展湍流问题，该模型完全适用，而且比其他湍流模型更快收敛。

应用范围：适合完全湍流（充分发展的湍流）的流动过程模拟，特别是对高雷诺数的湍流有效，包含黏性热、浮力、压缩性等选项，但模拟旋流和绕流时有缺陷。

2）重整化群模型。

重整化群模型来源于严格的统计技术，与标准模型相比有一些改进：①重整化群模型在方程中加了一个条件，有效地改善了精度；②考虑到了湍流漩涡并提高了在这方面的精度；③为湍流普朗特数提供了解析公式，而标准模型是用户提供的常数；④标准模型是一种高雷诺数的模型，重整化群模型提供了一个考虑低雷诺数流动黏性的解析公式，这些公式的作用取决于如何正确地对待近壁区域。

应用范围：除强旋流过程无法精确预测外，其他流动都可以使用此模型，如模拟射流撞击、分离流、二次流和旋流等，能取得较标准模型更高的精度，但中等复杂的湍流受到各向同性涡旋黏度假设限制。

3）可实现的模型。

可实现的模型与标准模型相比，主要有两个不同点：①可实现的模型为湍流黏性增加了一个公式；②可实现的模型为耗散率增加了新的传输方程，该方程是为层流速度波动而作的精确方程。

应用范围：除强旋流过程无法精确预测外，其他流动都可以使用此模型，包括有旋均匀剪切流、自由流（射流和混合层）、腔道流动和边界层流动。

（3）模型

模型是双方程模型中的一种模型。模型的应用范围为：对自由剪切湍流、附着边界湍流、表现出强曲率的流动以及适度分离湍流都有较高的计算精度。

1）标准模型。

标准模型通过两个输运方程求解与。对于有界壁面和低雷诺数的可压缩性和剪切流动，能取得较好的模拟效果，尤其是圆柱绕流问题、放射状喷射、混合流动等，包含转捩、自由剪切和压缩性选项。

2）剪切应力传输模型。

剪切应力传输模型合并了来源于方程的交叉扩散，湍流黏度考虑到了湍流剪应力的传波，而且模型常量不同，这些特点使得该模型在近壁区域的自由流、逆压梯度流动、翼型、跨音速激波等方面有着更高的精度。

（4）雷诺应力模型

雷诺应力模型同时考虑了连续性方程、运动方程、输运方程和各向异性湍流剪切应力方程，但计算收敛较难，计算耗时较长。

应用范围：主要应用于复杂3D流动（如弯曲管道、旋转、旋流燃烧、旋风等流动），尤其是强旋流运动，若要考虑雷诺应力各向异性，则必须应用该模型。

（5）大涡模拟

大涡模拟将湍流过程分为大尺度脉动和小尺度（小于惯性区尺度）脉动，把小尺度脉动认为是湍流耗散［作为额外的应力项（亚网格应力）］，通过运动方程进行传递，将计算的重点放在大尺度脉动上，可以表现出高精度的湍流细节。

应用范围：在学术界应用广泛，但需要更为精细的网格及较长的计算耗时。

（6）尺度自适应模拟（Scale-Adaptive Simulation，SAS）

尺度自适应模拟的计算精度和大涡模拟接近，但其计算量明显更少，网格精细程度也更低。尺度自适应模拟的优点是模型的雷诺平均N-S方程（RANS）部分不受网格尺寸的影响，因此不会出现精度下降的情况。

应用范围：通常适用于分离区域、航空航天等问题的分析。

（7）分离涡模拟（Detached Eddy Simulation，DES）

分离涡模拟通过比较湍流的长度与网格间距的大小来实现雷诺平均N-S方程与大涡模拟之间的切换。该模型选择两者的最小值，从而在雷诺平均N-S方程和大涡模拟之间切换。它通过在近壁面采用大涡模拟、在湍流核心区采用雷诺平均N-S方程进行计算，可以阻止模型应力损耗及网格导致的分离。

应用范围：适用于外流空气动力学、气动声学、壁面湍流等问题的计算。

另外还有转捩模型，用于模拟流动从层流转变到湍流的过程、转捩不连续等计算情况。

壁面对湍流流动影响较大，壁面的不光滑及其他因素均会对流动产生影响，在离壁面很近的地方，黏性力将抑制流体切线方向的速度变化，同时壁面也阻碍正常的波动。重整化群模型在近壁面的外部区域，湍流动能受平均流速的影响而增大，湍流运动加剧。而模型、雷诺应力模型、大涡模拟仅适用于湍流核心区域（远离壁面处），故需要考虑如何使这些模型能够用于壁面边界层处的流动。Fluent中的湍流模型提供了3种近壁处理方法：标准壁面函数法、非平衡壁面函数法和加强壁面函数法。具体选择可以参考下面的说明。

标准壁面函数法：应用广泛，计算精度与经济性合理，但属于高雷诺数的经验公式，不适用于低雷诺数区的流动，且没有考虑质量蒸发、和体积力的影响，三维计算也较差。

非平衡壁面函数法：考虑了和非平衡方程及分离、再附着、撞击现象；但在低雷诺数区的流动、伴随质量蒸发的流动、过大的流动、强体积力流动及三维流动模拟方面存在不足。

加强壁面函数法：不依赖于经验壁面法则，应用于复杂流动及低雷诺数区的流动，但需要精细的网格、较大的CPU与内存。

1.2.3　初始条件和边界条件

在计算过程中，初始条件和边界条件的正确设置是关键的一步。Fluent提供了现成的各种类型的边界条件。

1.初始条件

初始条件是计算初始给定的参数，即时，给出各未知量的函数分布后，用户根据实际情况设置的条件。当流体运动定常时，无初始条件。

2.边界条件

边界条件是流体力学方程组在求解域的边界上，流体物理量应满足的条件。例如，流体被固壁所限，流体就不应有穿过固壁的速度分量；在水面边界上，大气压强可认为是常数（一般在不大的范围内可如此认为）；在流体与外界无热传导的边界上，流体与边界之间无温差等。由于具体问题不同，边界条件一般要保持恰当：①保持在物理上是正确的；②要在数学上不多不少，刚好能用来确定积分、微分方程中的积分常数，而不是矛盾的或有随意性的。

Fluent中的基本边界条件包括以下几种。

（1）入口边界条件

入口边界条件就是指定的入口处流动变量的值。常见的入口边界条件有速度入口边界条件、压力入口边界条件和质量流量入口边界条件。

1）速度入口边界条件：用于定义流动速度和流动入口的流动属性相关的标量。该边界条件适用于不可压缩流动，用于可压缩流动会得到非物理结果，因为它允许驻点条件浮动。应注意不要让速度入口靠近圆形障碍物，因为这会导致流动入口驻点属性的非一致性太高。

2）压力入口边界条件：用于定义流动入口的压力及其他标量属性。它既可以用于可压缩流动，也可以用于不可压缩流动。压力入口边界条件可用于压力已知但是流动速度或速率未知的情况。这一情况可用于很多实际问题，例如浮力驱动的流动。压力入口边界条件也可用来定义外部或无约束流体的自由边界。

3）质量流量入口边界条件：用于已知入口质量流量的可压缩流动。在不可压缩流动中不必指定入口的质量流量，因为密度为常数时，速度入口边界条件就确定了质量流量入口边界条件。当要求达到的是质量和能量流速而不是流入的总压时，通常就会使用质量流量入口边界条件。

注意： 调节入口总压可能会导致解的收敛速度较慢，当压力入口边界条件和质量流量入口边界条件都可以接受时，应优先选择压力入口边界条件。

（2）出口边界条件

1）压力出口边界条件：需要在出口边界处指定表压。指定的表压只用于亚声速流动。如果流动变为超声速，就不再指定表压，此时压力要从内部流动中求出，其他的流动属性也应如此处理。

在求解过程中，如果压力出口边界处的流动是反向的，回流条件也需要指定。如果指定了比较符合实际的回流值，计算会比较容易收敛。

2）质量出口边界条件：当流动出口的速度和压力在解决流动问题之前未知时，可以使用质量出口边界条件来模拟流动。需要注意的是，如果模拟可压缩流体或者包含压力出口的流体，则不能使用质量出口边界条件。

（3）固体壁面边界条件

对于黏性流动问题，可为壁面设置无滑移边界条件；也可以指定壁面切向速度分量 （壁面平移或者旋转时），给出壁面切应力，从而模拟壁面滑移；还可以根据流动情况计算壁面切应力和与流体换热情况。固体壁面热边界条件包括固定热通量、固定温度、对流换热系数、外部辐射换热、对流换热等。

（4）对称边界条件

对称边界条件应用于计算的物理区域对称的情况。在对称轴或者对称平面上，没有对流通量，所以垂直于对称轴或者对称平面的速度分量为0。因此在对称边界上，垂直边界的速度分量为0，任何物理量的梯度都为0。

（5）周期性边界条件

如果流动的几何边界、流动和换热是周期性重复的，则可以采用周期性边界条件。

边界类型的改变是有一定限制的，不能随意进行修改。边界类型可以分成四大类（面边界、双面边界、周期性边界、单元边界），所有边界类型都可以被划分到其中一个大类中。边界类型的改变只能在大类中进行，而分属不同大类的边界类型不能相互替换。