二 怎样具体地表出数量以及两个数量之间的关系

学习一种东西，首先要把学习态度端正好。现在一般人学习，只是用耳朵听先生讲，把讲的牢牢记住。用眼睛看先生写，用手照抄下来，也牢牢记住。这正如拿着口袋到米店去买米，付了钱，让别人将米倒在口袋里，自己背回家就完事大吉一样。把一口袋米放在家里，肚子就不会饿了吗？买米的目的，是为了把它做成饭，吃到肚里，将饭消化了，吸收生理上所需要的，将不需要的污秽排泄。所以饭得自己煮，自己吃，自己消化，自己吸收养料，污秽得自己排。就算是买的饭，饭是别人喂到嘴里去的，但进嘴以后的一切工作也只有靠自己了。学校的先生所能给予学生的只是生米和煮饭的方法，最多是饭，喂到嘴里的事，就要靠学生自己了。所以学习是要把先生所给的米变成饭，自己嚼，自己消化，自己吸收，自己排泄。教科书要成一本教科书，少不了材料，先生给学生讲课也有少不来的话，正如米要成米少不了必需的成分一样，但对于学生不是全有用场，所以读书有些是用不到记的，正如吃饭有些要排出来一样。

上面说的是学习的基本态度——自己消化、吸收、排泄。怎样消化、吸收、排泄呢？学习和研究这两个词，大多数人都在乱用。读一篇小说，就是在研究文学，这是错的。不过学习和研究的态度应当一样。研究应当依照科学方法，学习也应当依照科学方法。所谓科学方法，就是从观察和实验收集材料，加以分析、综合整理。学习也应当如此。要明了“的”字的用法，必须先留心各式各样含有“的”字的句子，然后比较、分析……

算学，就初等范围内说离不开数和量，而数和量都是抽象的，两条板凳和三支笔是具体的，“两条”“三支”以及“两”和“三”全是抽象的。抽象的，按理说是无法观察和实验的。然而为了学习，我们无妨开一个方便法门，将它具体化。昨天我四岁的小女儿跑来向我要五个铜板，我忽然想到测试她认识数量的能力，先只给她三个。她说只有三个，我便问她还差几个。于是她把左手的五指伸出来，右手将左手的中指、无名指和小指捏住，看了看，说差两个。这就是数量的具体表出的方便法门。这方便法门，不但是小孩子学习算学的“入德之门”，而且是人类建立全部算学的基础，我们所用的不是十进数吗？

用指头代替铜板，当然也可以用指头代替人、马、牛，然而指头只有十个，而且分属于两只手，所以第一步就由用两只手进化到用一只手，将指头屈伸着或作种种形象以表示数。不过数大了仍旧不便。好在人是吃饭的动物，这点聪明还有，于是进化到用笔涂点子来代替手指，到这一步自然能表出的数更多了。不过点子太多也难一目了然，而且在表示数和数的关系时更不便当。因为这样，有必要将它改良。

既然可以用“点”来作具体地表出数的方便法门，当然也可以用线段来代替“点”。严格地说，画在纸上，“点”和线段其实是一样的。

用线段来表示数量，第一步很容易想到这两种形式：……和……这和“点”一样不便当，应该再加以改良。第二步，不妨将这些线段连结成为一条长的线段，成为竖的或横的呢？本来用多长的线段表出1，这是个人的绝对自由，任何法律也无法禁止。所以只要在纸上画一条长线段，再在这线段上随便作一点算是起点零，再从这起点零起，依次取等长的线段便得1，2，3，4……

这是数量的具体表出的方便法门。

有了这方便法门，算学上的四个基本法则，都可以用画图来计算了。

（1）加法——这用不着说明。如图1，便是5+3=8。

（2）减法——只要把减数反向画就得了。如图2，便是8-3=5。

（3）乘法——本来就是加法的简便方法，所以和加法的画法相似，只需所取被乘数的段数和乘数的相同。不过有小数时，需参照除法的画法才能将小数部分画出来。如图3，便是5×3=15。

（4）除法——这要用到几何画法中的等分线段的方法。如图4，便是15÷3=5。

图中表示除数的线是任意画的，画好以后，便从0起在上面取等长的任意三段0—1，1—2，2—3，再将3和15连起来，过1画一条线和它平行，这线正好通过5，5就是商数。图中的虚线2…10是为了看起来更清爽才画的，实际上没必要。

懂得了四则运算的基础画法了吗？现在进一步再来看两个数的几种关系的具体表出法。

两个不同的数量，当然，若是同时画在一条线段上，那么是要弄得眉目不清的。假如这两个数量根本没有什么瓜葛，那就自立门户，各占一条路线好了。若是它们多少有些牵连，要同居分炊，怎样呢？正如学地理的时候，我们要明确地懂得一个城市是在地球上什么地方，得知道它的经度和纬度一样。这两条线一是南北向，一是东西向，自不相同。但若将这城市所在的地方的经度画一张图，纬度又另画一张画，那还成什么体统呢？画地球是经、纬度并在一张，表示两个不同而有关联的数。现在正可借用这个办法，好在它不曾在内政部注册过，不许冒用。

用两条十字交叉的线，每条表示一个数量，那交点就算是共通的起点0，这样来源相同，趋向各别的法门，倒也是一件好玩的勾当。

（1）差一定的两个数量的表出法

例：兄年十三岁，弟年十岁，兄比弟大几岁？

用横的线段表示弟的年岁，竖的线段表示兄的年岁，他俩差三岁，就是说兄三岁的时候弟才出生，因而得 A。但兄十三岁的时候弟是十岁，所以竖的第十条线和横的第十三条是相交的，因而得 B。由这图上的各点横竖一看，便可知道：

（Ⅰ）兄年几岁（例如5岁）时，弟年若干岁（2岁）。

（Ⅱ）兄、弟年纪的差总是3岁。

（Ⅲ）兄年6岁时，是弟弟的两倍。

……

（2）和一定的两数量的表出法

例：张老大、宋阿二分十五块钱，张老大得九块，宋阿二得几块？

用横的线段表示宋阿二得的，竖的线段表示张老大得的。张老大全部拿了去，宋阿二便两手空空，因得A点。反过来，宋阿二全部拿了去，张老大便两手空空，因得B点。由这线上的各点横竖一看，便知道：

（Ⅰ）张老大得九块的时候，宋阿二得六块。

（Ⅱ）张老大得三块的时候，宋阿二得十二块。

……

（3）一数量是它一数量的一定倍数的表出法

例：一个小孩子每小时走二里路，三小时走多少里？

用横的线段表示里数，竖的线段表示时数。第一小时走了2里，因而得A点。第二小时走了4里，因得B点。由这线上的各点横竖一看，便可知道：

（Ⅰ）3小时走了6里。

（Ⅱ）4小时走了8里。