《给孩子的趣味数学：数学原来这么好玩》丛书导读

民国时期，著名画家、教育家、漫画家、作家丰子恺给刘薰宇的《数学趣味》一书作序，原文如下：

我中学时代最不欢喜数学，最欢喜图画，常常为了图画而抛荒数学课。看见某画理书上说：“学数学与学图画，头脑的用法相反，故长于数学者往往不善图画，长于图画者往往不善数学。”我得了这话的辩护，便放心地抛荒数学课，仿佛数学越坏，图画会越好起来似的。现在回想觉得可笑又可惜，放弃了青年时代应修的一种功课。我一直没有尝过数学的兴味，一直没有游览过数学的世界，到底是损失！

最近给我稍稍补偿这损失的，便是这册书里的几篇文章。我与薰宇相识后，他便做这些文章。他每次发表，我都读，诱我读的，是它们的富有趣味的题材。我常不知不觉地被诱进数学的世界里去。每次想：假如从前有这样的数学书，也许我不会抛荒数学，因而不会相信那画理书上的话。我曾鼓励薰宇续作，将来结集成书。现在书就将出版了，薰宇要我作序。数学的书，叫我这从小抛荒数学的人作序，也是奇事。而我居然作了，更属异闻！序，似乎应该是对于全书的内容有所品评或阐发的，然而我的序没有，只表示我是每篇的爱读者而已。——唯其中《韩信点兵》一篇给我的回想很不好：这篇发表时，我正患眼疾，医生叮嘱我灯下不可看书，而我接到杂志，竟在灯下一口气读完了。次日眼睛很痛，又去看医生。

一九三三年耶稣诞

子恺

一篇简短的序言，让我们读到了大画家丰子恺对没有学好数学的懊悔，也读到了《数学趣味》的趣味。这趣味让丰子恺对该书爱不释手，忍着眼痛也要看完。如此精彩，到底是怎样的书呢？让我们一起来品味刘薰宇的数学科普丛书。

一、读其文，先品其人——认识丛书作者刘薰宇

刘薰宇（1896—1967），贵州贵阳人。我国现代数学家，也是我国现代数学教育家和出版家，受过法国数学教育的熏陶，曾任多所大学和中学数学教师或校长，担任过人民教育出版社副总编辑，审定过我国中小学数学教材，出版了中小学数学教科书和科普读物，发表了大量数学教育方面的论文，筹备出版了《中学生》《新少年》等青少年期刊。

担任人民教育出版社副总编辑期间，编写了一系列中学数学教材。算术谁编的？刘薰宇！代数谁编的？刘薰宇！平面几何谁编的？刘薰宇！立体几何谁编的？刘薰宇！解析几何谁编的？刘薰宇！……注意不是主编，而是编！我们对作者的景仰之情如滔滔江水，连绵不绝。

民国时期，语文教育家夏丏尊出过一本书，名为《文章作法》，这本书的第二作者是刘薰宇，一个数学家编写语文专著，可谓文理兼修，惊为天人。

刘薰宇作为中国数学科普第一人，论著特点之一就是：说理浅明，以趣味丰富的文字写枯燥的算理。所以，他的科普著作深受人们的喜爱，下面仅对《数学趣味》《马先生谈算学》《数学的园地》和《因数和因式》中的内容做一简单的介绍，增进我们对他的科普著作的了解，进而去阅读，并享受其中的数学趣味，汲取这位数学家留给我们的“教育遗产”。

二、作品赏析

刘薰宇的《马先生谈算学》这部著作从 1937 年 1 月开始，陆续按

月发表在《中学生》上，预定于 1937 年，在《中学生》上登载完毕，

但由于时局动乱，难以静心撰写，时至 1939 年冬天才完稿，前后历时三年。

刘薰宇写该书的动机是：“在增进学算学的人对于算学的趣味。对于学习算学的态度，思索问题的途径，以及探究题目间的关系和变化，我很用心地去选择和计划表出它们的方法。我希望，能够把这没有生命的算学问题注进一点儿活力。”该书是以第三人称——“马先生”的口吻来进行书写的，主要围绕如何用图解法求解一些算术四则问题，收集了 100 多道题目加以解释，但它并不是什么难题详解之类的书。马先生是一位风趣幽默的老师，在和同学们的交流中循循善诱，把复杂的数学问题通过深入浅出的语言，通过生动

形象的画图加以解决。例如书中有这么一段：

鸡、兔 同 一 笼 共 十 九 个 头，五十二只脚，求鸡、兔各有几只？

不用说，这题目包含一个事实条件，鸡是两只脚，而兔是四只脚。

“依头数说，这是‘和一定’的关系。”马先生一边说，一边画AB线。

“但若就脚来说，两只鸡的才等于一只兔的，这又是‘定倍数’ 的关系。假设全是兔，兔应当有十三只；假设全是鸡，就应当有二十六只。由此得 CD 线，两线交于 E。竖看得七只兔，横看得十二只鸡，这就对了。”

七只兔，二十八只脚，十二只鸡，二十四只脚，一共正好五十二只脚。

这种方法正如刘薰宇先生强调的：“用图解法直接来解决算术问题，这不但便于观察和思索，而且还可使算术更切近于实用一点。图解，本来已沟通了代数和几何，而成为解析几何学的骨干。所以，若从算术起，就充分地运用它，我想，这不但对于进一步学习算学中的其他部门，有着不少的帮助，而且对于学理、工科，乃至于统计等，也是有益的。”《马先生谈算学》中的图像法不正是中学的函数图像的雏形吗？在学习函数和解析法分析问题时，马先生让你水到渠成。

《马先生谈算学》共有 30 部分，依次为：他是这样开场的、怎样具体地表出数量以及两个数量间的关系、解答如何产生——交差原理、就讲和差算罢、“追赶上前”的话、时钟的两只针、流水行舟、年龄的关系、多多少少、鸟兽同笼问题、分工合作、归一法的问题、截长补短、还原算、五个指头四个叉、排方阵、全部通过、七零八落、韩信点兵、话说分数、三态之一——几分之几、三态之二——求偏、三态之三—— 求全、显出原形、从比到比例、这要算不可能了、大半不可能的复比例、物物交换、按比分配、结束的一课。

《马先生谈算学》充分体现了刘薰宇先生对数学的态度，一方面认为人人应该学习数学，但不是说人人都要当数学家；另一方面认为人人都能学习数学，但不是说人人都能成为数学家。科学的价值与需求在当时已经不容怀疑，而算术、代数、几何、三角、解析几何以及初等微积分等中等程度的数学是科学必备的基础。所以，“谨以此书献给真实爱好科学的青年朋友”表达了刘薰宇先生出版该书的心声。

《数学趣味》共有 11 部分，依次是：数学是什么、数学所给与人们的、数的启示、从数学问题说到我们的思想、恨点不到头、堆罗汉、八仙过海、棕榄谜、韩信点兵、王老头子的汤圆、假使我们有十二根手指。《数学趣味》是一本有趣的数学史，从数学是什么到数的启示，你会读到数的历史演变，你会读到从数到式的发展。从数学问题说我们的思想中，刘薰宇先生通过鸡兔同笼、勾股定理两个耳熟能详的问题，分析了数学中的通法和特法的关系，以及特殊与一般的关系。

大概说来，在十六七年前吧，从一部旧小说上，也许是《镜花缘》，看到一个数学题的算法，觉得很巧妙，至今仍没有忘记。那是一个关于鸡兔同笼的问题，题上的数字现在已有点儿模糊，假使总共十二个头，三十只脚，要求的便是那笼子里边究竟有几只鸡、几只兔。

那书上的算法很简便，将总共的脚的数目三十折半，得十五，从这十五中减去总共的头的数目十二，剩的是三，这就是那笼子里面的兔的只数；再从总共的头数减去兔的头数三，剩的是九，便是要求的鸡的数目。真是一点儿不差，三只兔和九只鸡，总共恰是十二个头，三十只脚。

……

八方桌和六方桌，总共八张，总共有五十二个角，试求每种各有几张。这个题目具备了前面所举的三个条件中的第一个和第二个，只缺第三个，所以不能完全用相同的方法计算。先将五十二折半得二十六，八方和六方折半以后，它们的角的数目相差虽只有一，但六方的折半还有三个角，八方的还有四个。所以，在三十六个角里面，必须将每张桌折半以后的脚数三只三只地都减去。总共减去三乘八得出来的二十四个角，所剩的才是每张八方桌比每张六方桌所多出的角数的一半。所以二十六减去二十四剩二，这便是八方桌有两张，八张减去二张剩六张，这就是六方桌的数目。将原来的方法用到这道题上，步骤就复杂了，但教科书上所说的方法，用到那些形式相差很远的例子上并不繁重，这就可以证明两种方法使用范围的广狭了。

读了上面的例子，你是否认识到越是普遍的法则，用来对付特殊的事例，往往越是容易显出不灵巧，但它的效用并不在使人得到小花招，而是要给大家一种可靠的、能够一以当百的方法。你是否认识到这可以列方程和方程组，解法更加普遍。

中国很老的数学书，如《周髀算经》上面，就载有一个关于直角三角形的定理，所谓“勾三股四弦五”。这正和希腊数学家毕达哥拉斯的定理：“直角三角形的斜边的平方等于它两边的平方的和。”本质上没有区别。但由于表出的方法不同，它们的进展就大相悬殊。从时间上看，毕达哥拉斯是纪元前六世纪的人，《周髀算经》出世的时代虽已不能确定，但总不止二千六百年。从这儿，我们中国人也可以自傲了，这样的定理，我们老早就有的。这似乎比把墨子的木鸢当作飞行机的始祖来得大方些。然而为什么毕达哥拉斯的定理在数学史上有着很大的发展，而“勾三股四弦五”的说法，却没有新的突破呢？

这进一步告诉我们，我们的科学研究，尤其数学研究要从实际问题出发，从特殊到一般，发现普遍真理。刘薰宇进一步分析了一般三角形的三边类勾股的关系，扩展到费马定理，层层递进，精彩纷呈。

刘薰宇出版《数学趣味》有两个目的：一是打破一种观念：“许多人以为数学是枯燥、繁杂、令人头疼、不切实用的学科，因而望而却步。打破这种观念，这是第一个共同的企图。”二是暗示处理材料和思索问题的方法：“许多人以为学习数学，只要呆记书本上的法则、公式、定理等等，再将练习题做完，这就算全部掌握了。其实书本上的知识不但有限，而且也太固定了，我们所能遇见的更鲜活的材料不知有多少。将死板的方法用到这些活泼的材料上去，使它俩相得益彰，这是一条学习的正轨。学习不但要收集一些材料，还要掌握一些方法。掌握方法比收集材料更有效果。”

中学生可以看懂高等数学中的微积分，也许你认为这是天方夜谭吧。当你打开刘薰宇的《数学的园地》，你会发现微积分其实很简单。该书比较系统地说明了函数、诱导函数、积分、微分等概念及它们的运算法的基本原理。抽象、枯燥的高等数学内容，经过他巧妙的手法写出来，只要学过初等代数和几何的人，就能很轻松、毫不费力地读完并掌握。所以，该书完全可以作为中学生必备的重要自学书籍。

记起一段笑话，一段戏文上的笑话。有一个穷书生，讨了一个有钱人家的女儿做老婆，因此，平日就以怕老婆出了名。后来，他的运道亨通了，进京朝考，居然一榜及第。他身上披起了蓝衫，许多差人侍候着。回到家里，一心以为这回可以向他的老婆复仇了。哪知老婆见了他，仍然是神气活现的样子。他觉得这未免有些奇怪，便问：“从前我穷，你向我摆架子，现在我做了官，为什么你还要摆架子呢？”

她的回答很妙：“愧煞你是一个读书人，还做了官，‘水涨船高’ 你都不晓得吗？”

你懂得“水涨船高”吗？船的位置的高低，是随着水的涨落变的。用数学上的话来说，船的位置就是水的涨落的函数。说女子是男子的函数，也就是同样的理由。在家从父，出嫁从夫，夫死从子，这已经有点儿像函数的样子了。如果还嫌粗略，我们不妨再精细一点儿说。女子一生下来，父亲是知识阶级，或官僚政客，她就是千金小姐；若父亲是挑粪、担水的，她就是丫头。这个地位一直到了她嫁人以后才会发生改变。这时，改变也很大：嫁的是大官僚，她便是夫人；嫁的是小官僚，她便是太太；嫁的是教书匠，她便是师母；嫁的是生意人，她便是老板娘；嫁的是 x，她就是y，y总是随着x变的，自己无法做主。这种情形和“水涨船高”真是一样，所以我说，女子是男子的函数，y是x的函数。

函数的概念比较抽象，刘薰宇先生以旧社会妇女没地位，处处要服从男人这个事实作为从属关系的例子，把“一个变化另一个也跟着变” 的道理说得幽默生动。相对于函数，微分、积分、导数以及微分方程更加抽象，但刘薰宇先生依然把它们讲得栩栩如生，通俗易懂。

《因数和因式》中，刘薰宇先生把小学的数和中学的式放在一起，可以类比学习，对于爱好数学的学生、学有余力的学生、在六年级着手初小衔接的学生，可以仔细读一读，品一品，你会发现二者之间有着紧密的联系。书中有一些名词在今天读起来更觉得生动：比如我们现在称为分解质因数，本书中称为“析因数”，分解因式在本书中称为“析因式”。有关式的部分，刘薰宇先生在书中做了细致的阐述，对初中数学中数与式的巩固、拓展提升有很大的帮助。

三、刘薰宇著作对后世的影响

刘薰宇的论著在当时深受人们的喜爱，有些人正是因为读了他的论著才对数学感兴趣，不再觉得数学是枯燥、难懂的学科。

著名物理学家、诺贝尔奖得者杨振宁在对香港中学生的演讲中说：“早在中学时代，由于偶然的机会我对数学产生了兴趣，而且发现了自己的数学能力。20 世纪 30 年代，有一杂志名叫《中学生》。我想香港的一些图书馆一定还收藏有这份杂志。这份杂志非常好，面向中学生，办得认真，内容有趣。有一位刘薰宇先生，他是位数学家，写过许多通俗易懂和极其有趣的数学方面的文章。我记得，我读了他写的关于智力测验的文章，才知道排列和奇偶排列这些极为重要的数学概念。”

著名数学家、国家最高科学技术奖获得者谷超豪院士说：“我很早就对数学产生了兴趣，中学时期除了好好学习课本外，我还看了不少课外书。记得看了刘薰宇先生的《数学的园地》，其中有一段讲述了微积分思想，从什么是速度讲起。当时在学中学物理课，我自以为很懂得速度、加速度等概念，然而读了这本书之后才发现，原来速度概念要用到微积分才能精确了解，于是对数学愈发地感兴趣了。”

刘薰宇先生的这些作品与教科书不同，刘薰宇说“在嬉皮笑脸中来谈点严肃的数学法则”（刘薰宇《科学小品和我》），这样的写法很得著名艺术家丰子恺的称赞。

好友李异鸣先生从孔夫子旧书网购得刘薰宇先生的《马先生谈算学》《数学趣味》《数学的园地》《因数和因式》套书。2020 年春节，新冠肺炎疫情蔓延，待家防护，捧读大师这四本著作，仿佛和大师做了一番月余的长谈。“数学很难，数学很枯燥，数学很重要”，这是很多中小学生的内心独白。今天，我要向所有的中小学生推荐这套丛书，这套丛书能够让人感知数学知识可以是有趣的，也应该是有趣的，学习数学知识并不是苦差事。好书永远有生命力，刘薰宇先生的这套丛书就是好书，一代代人读，启迪智慧，开创未来。

北京市第八十中学 杨根深

2020年4月