3.2　方程组的本质

我们从一个广为人知的鸡兔同笼问题开始，介绍方程组的概念。该问题最早出现在《孙子算经》中：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？”

这个问题有很多种解法，但是方程组无疑是最直接、最有效的。假设鸡和兔子的数量分别为x₁，x₂，可列方程组：

然后直接可以解出方程组的解为x₁=23，x₂=12。也就是说，有23只鸡，12只兔子。

虽然我们很早就能熟练使用方程组，也会用它解决一些实际问题，但却很少有人仔细思考方程组的本质到底是什么。

在我看来，方程组的本质如下。

现在有一个或多个事物，我们无法直接了解这些事物的内在本质，只能从一些角度来观察这些事物的外在表象。这里的内在本质，是方程组中的待定变量；而外在表象，就是方程组中等式右边的这些数值。

从各个角度进行观察，我们都可以得到相应的内在本质和外在表象的关系，得到相应方程。一个方程，就是从一个角度观察得到的结果。如果我们从多个角度进行观察，就会得到方程组。接下来解方程组的过程，就是结合多个角度的观察结果，找到内在本质的过程。

还以鸡兔同笼为例，我们想要知道鸡和兔子的数量。第一个方程，提供了从“头”的角度得出的结论：鸡兔共有35个头。第二个方程，提供了从“脚”的角度得出的结论：鸡兔共有94只脚。

联立方程组让我们结合这两个角度，通过解方程了解背后的真相（鸡和兔子的数量）。

我们可以把方程组更形象地表示出来。以鸡兔同笼为例，满足第一个方程x₁+x₂=35的所有点（x₁,x₂），都位于x₁+x₂平面中的一条直线上。这条直线上的所有点的横坐标x₁和纵坐标x₂的和都是35。同样，满足第二个方程2x₁+4x₂=94的所有点也都在该平面上的另一条直线上。如果我们用图形表示（见图3-1），其中的直线L₁代表第一个方程，直线L₂代表第二个方程。而两条直线的交点，就是这个方程组的解。

用每条直线来代表方程组中的每个方程，用多条直线的交点来代表方程组的解，可以帮助我们更深刻地理解方程组的本质：每条直线都代表一个观察的角度，而直线的交点就是站在多个角度进行观察后达成的共识。

很显然，我们总是希望站在多个角度进行观察后达成的共识，能无限接近问题背后的真相。

表面上看，解方程这一方法可以很完美地解决鸡兔同笼这类问题：只要针对问题列出多个方程，那么通过解方程就可以很好地找到问题背后的真相。

然而，实际情况并没有那么简单，我们来举个例子。