为什么富士山给人以美的享受

指数函数会“爆炸”吗？

“黄金比例”和“白银比例”都是人类觉得美和协调的比例。黄金比例是1:约1.6。比如，国旗和名片的横竖都是这个比例。而白银比例是（约1.4），A版和B版复印纸横竖都是这个比例。

有时翻看富士山的写真集，我的目光就会被钉在某张照片上无法移开。因为富士山和倒映在湖面的倒过来的富士山，上下左右都完美地对称着。那山脊的弧线似乎在对我深情地倾诉——

仔细观察，就会觉得那弧线似乎跟指数函数“y＝ex”的图像有一部分是重合的。

指数函数可以用来说明各种各样的自然现象。其图像特征是从与x轴无限接近平行的状态开始，之后发生急剧变化，最后无限接近与x轴垂直的形状。

指数函数的缩写是“exp”，是取了“exponentia（指数）”的前三个字母。看到这个缩写，我不由得想起以同样三个字母开头的一个单词“explosion”（爆炸）。因为“从某一个点开始数值发生爆炸性的变化”正是指数函数的特征。

详细内容会在第109页介绍，现在请大家思考一下发生在我们身边关于洗澡水变冷的现象。热茶和肉包子也是如此，接触到外面空气的瞬间，温度开始急剧下降，可当接近室温时，这种变化就放缓了。如果将温度变化的样子画成图表，就会画出先前指数函数的曲线。

发现富士山山脊和指数函数的曲线相重合后，我又将目光投向了葛饰北斋画的《富岳三十六景》。其中的《神奈川冲浪里》是人们谈起黄金比例时屡屡言及的作品，北斋画中描绘的波浪形状跟“斐波纳奇数列（黄金分割数列）”（1，1，2，3，5，8，13，…，像这样相邻两项的和等于下一项的数列）中衍生出来的“螺旋”非常接近，因此画面整体呈现出黄金比例。

我并不认为北斋懂得数学知识，只是这位艺术家能画出从数学角度欣赏也很美的画作，那么在这个画着富士山的系列作品中，出现指数函数的曲线也就不是什么奇怪的事了。

仔细一看，还真有了发现。《凯风快晴》这幅作品中描绘的山脊就跟“y＝ex”的图像展现出完美的一致。

想必有人会认为，既然山脊本身就是指数函数的曲线，描绘它的画呈现出同样的曲线可不就是理所当然的嘛。

但是北斋不可能拍下照片去临摹。归根结底，他还是根据自己的感性这面滤镜去把握富士山的美，然后再亲手一点点描绘出来。

画作居然与数学意义上的曲线完全一致，这真让人惊叹不已。

联结富士山与数学的神秘数字“e”

那么，创造出如此美妙曲线的“e”究竟是个什么样的数字？“e”被称作“纳皮尔常数”，源自微积分。

简单来说，微分表示“瞬间的变化”，积分表示“最终的结果”。比如说，汽车的速度就是微分，而累计距离数值则用积分表示。想要表示时刻发生变化的样子就不得不用到“e”这个数字。

这个“e”等于2.71828182845904523536…，是一个无限不循环小数。这样的数字称为“无理数”。

顺便告诉大家，无理数的伙伴中还有一位很著名的朋友，那就是圆周率“π”。“π”和“e”是数学和物理学领域里非常重要的基本定数。有这两个数字登场的最有名的算式要数欧拉等式——“eiπ＝- 1”。

算式中的“i”（虚数单位）也是一个不可思议的数字，它的平方等于- 1。两个无限的无理数和虚数组合，得到的却是“ - 1”这样一个简单的答案。

诺贝尔奖得主、美国物理学家理查德·费曼（1918—1988）称赞这个算式为“人类的至宝”。

为什么富士山的山脊呈现出这个算式的样子？

让我们将话题转回富士山。

几乎在日本列岛中心位置的火山，为什么有着可以用包含神奇的纳皮尔常数的算式“y＝ex”来表示的山脊？

这意味着，富士山从某种意义上讲，是在比较理想的环境下诞生的。

如果第一次喷发是在一个完全水平的地面上，同时岩浆垂直向上喷出，会变成什么样？

我们单纯考虑的话，离喷火口越近的地方就会沉积越多的岩浆，离得越远的地方沉积的量会越少。如果火山喷发能始终保持相同的态势，岩石也均一地分散到四面八方，那么岩浆体积和距喷火口的距离之间的关系就可以用微分方程式来表示。解开微分方程式后，得到的富士山山脊的曲线正是指数函数的图像。

虽说指数函数跟温度变化等自然现象有着很深的关系，但现实中的火山喷发不可能完全按照设定的理想状况进行，想要得到科学实验中那样的形状更是不可想象的。

但是，富士山正是在这种与理想状态极其接近的情况下形成的，所以富士山山脊能与纯粹的数学曲线相吻合。像这样的火山，就算纵观全世界也找不出第二个。这样的山存在于我的祖国，这令我非常高兴。

不过，富士山山脊的弧线只是指数函数的一部分。如果无法准确地想象出“y＝ex”图像所描绘的曲线，无论怎么盯着富士山不放，也不会知道它们是一致的。数学老师经常会徒手在黑板上画出指数函数的图像，但看着这种大略画出的曲线是不会产生正确的想象的。

就我自身而言，以前就对“y＝ex”正确的曲线形状怎么也看不够。那个图像已经深深沁入了我的身体，正因如此，当我看到富士山的照片时，一下就发现了它们在数学范畴内的一致。

另外，像北斋这种感觉敏锐的人可能在下意识中就融合了数学的感觉。虽然他没有专门学习过数学，不过正因为对数学有着一种感觉，所以能感受到数学图形的美和协调，才能在其作品中再现《神奈川冲浪里》中的黄金比例和《凯风快晴》中的指数函数曲线。

如此说来，我们人类可能天生就有一种本能，可以感受到数学的美和协调等带来的快乐。学校里强行灌输的数学知识可能是很多人的心头之痛，但其实数学本来就是一种游戏。实际上从很久以前就有一大批数学家，他们不受谁的命令，自己想出数学问题，然后专心解答。他们就是在这个过程中寻找乐趣的。

而这种感觉并不是数学家的特权。

日本人也好，外国人也罢，不管谁看见富士山都会感受到它秀美的姿态吧。

每个人对美的感受各不相同，让成千上万人都觉得美的东西并不多见。但是，拥有“y＝ex”形山脊的富士山大体是个例外，它似乎拥有让人神魂颠倒的魅力。我认为这是因为我们生下来就有着一颗感受数学之美的心。

这座讲述数学之美的山正屹立在日本。我希望越来越多的日本人能够仰望富士山，唤醒自己那颗沉睡的“数学之心”。