5.2.4 气动声学控制方程

气动噪声是流动产生的噪声现象，也遵循三大控制方程。1952年Lighthill通过公式推导，将连续性方程和动量方程推导出声类比方程：

式中 ρ′——密度的脉动；

c₀——当地声速；

T_ij——广义应力张量；

δ_ij——克罗内克尔（kronecker）符号；

t——时间变量；

x_i、x_j——坐标分量；

T_ij——Lighthill应力张量；

ρ——流体平均密度；

u_i、u_j——沿i和j方向的速度分量；

p_ij——可压缩应力张量。

ρu_iu_j为与湍流脉动速度有关的湍流应力。

式（5-7）右边可以看成声源项，相当于一个四极子声源，左边为传播项，相当于四极子声源在声速为c₀的介质中传播。式（5-7）可解释为，任意真实流动中的密度脉动与一个四极子声源在稳态介质中产生的密度脉动具有严格的类比关系，因此该方程被称为声类比方程。

在声类比方程的基础上，考虑力源、质量源和黏性的影响，推导得到一般形式的非齐次声学波动方程：

式中 Q——质量源（kg/m3）；

f₀——物体表面对其边界上流体的作用力；

T_ij——广义应力张量。

式（5-8）右侧第一、二、三项分别表示单极子、偶极子和四极子声源，左侧表示为声的传播。因此一般形体的非齐次声源表示的是三类声源在声速为c₀的稳态介质中的传播。