3.1.2 低阶系统的动态响应分析

相比于复杂的、高阶的、多变量的系统，用低阶微分方程描述的低阶系统由于可以获得系统响应的解析解，因此低阶系统动态响应的研究是控制系统性能分析的基础，本节主要讨论低阶系统的动态响应，以及怎样改善低阶系统的性能。

1.一阶系统的动态响应

凡以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，都称为一阶系统。在工程实践中，一阶系统不乏其例，有些高阶系统的特性也可用一阶系统的特性近似表征。图3-4为代表电机速度控制系统的一阶系统，其中τ是电机的时间常数。该一阶系统的闭环传递函数为

当系统输入为单位阶跃信号时，有r（t）=1（t）或R（s）=1/s，输出响应的Laplace变换为

对C（s）取Laplace反变换，可得一阶系统的单位阶跃响应为

系统响应如图3-5所示，由式（3-5）及图3-5可知，响应的稳态值为

该值总是小于输入值。若增加放大器增益K，可使稳态值趋近于1。实际上，由于放大器的内部噪声随增益的增加而增大，K不可能为无穷大。而且，线性模型也仅在工作点附近的一定范围内成立。所以，系统的稳态误差为

可见，稳态误差不可能为零。

系统的时间常数为

它可定义为系统响应达到稳态值的63.2%所需要的时间。

由式（3-5）很容易找到系统输出值与时间常数T的对应关系，即

t=T,c(1T)=0.632c(∞)

t=2T,c(2T)=0.865c(∞)

t=3T,c(3T)=0.950c(∞)

t=4T,c(4T)=0.982c(∞)

由上述特定值可知，响应曲线在经过3T（5%误差）或4T（2%误差）的时间后进入稳态。

如果系统响应曲线以初始速率继续增加，如图3-5中的c₁（t）所示，T还可以定义为c₁（t）曲线达到稳态值所需要的时间。因为

因此，。当t=T，c₁（t）曲线达到稳态值，即，所以，。由于时间常数T反映系统的惯性，所以一阶系统的惯性越小，其响应过程越快；反之，惯性越大，响应过程越慢。

2.二阶系统的动态响应

在分析和设计控制系统时，常常把二阶系统的响应特性视为一种基准。因为在控制工程中，不但二阶系统的典型应用最为普遍，而且不少高阶系统常可以近似或者降为二阶系统处理。因此，着重研究二阶系统的分析与计算方法，具有较大的实际意义。

图3-6是标准二阶系统的结构框图，它的闭环传递函数为

由式（3-10）可知，ζ和ω_n是决定二阶系统动态特性的两个基本参数，其中ζ称为阻尼比，ω_n称为无阻尼振荡频率。任何其他二阶系统的传递函数都可以转化为式（3-10）的形式，因此把式（3-10）称为二阶系统闭环传递函数的标准形式。对于结构和功用不同的二阶系统，ζ和ω_n的物理含义是不同的。

由式（3-10）描述的系统特征方程为

这是一个二阶代数方程，它的两个特征根分别为

显然，阻尼比ζ不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也就不同。

下面分别对0＜ζ＜1，ζ=1和ζ＞1三种情况下二阶系统的阶跃响应进行讨论。

（1）0＜ζ＜1，称为欠阻尼二阶系统。

按式（3-10），系统的传递函数可写为

它有一对共轭复数根

其中，称为阻尼振荡频率。在零初始条件下，输入信号为单位阶跃信号，即r（t）=1（t）时，系统输出响应的Laplace变换为

对式（3-15）取Laplace反变换，可得系统的单位阶跃响应为

这是一个衰减振荡过程，如图3-7所示，其振荡频率就是阻尼振荡频率ω_d。由于瞬态分量衰减的快慢程度取决于包络线的收敛速度，当ζ一定时，包络线的收敛速度又取决于指数衰减，而其幅值则按指数曲线（响应曲线的包络线）衰减的幂，所以σ=ζω_n称为衰减系数。

当ζ=0时，称为无阻尼情况，系统的特征根为一对共轭虚根，即

它的单位阶跃响应为

这是等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼振荡频率ω_n。当系统有一定阻尼时，ω_d总是小于ω_n。

（2）ζ=1，称为临界阻尼二阶系统。

此时系统有两个相等的实数特征根，即

对于单位阶跃输入，系统输出的Laplace变换为

对式（3-20）取Laplace反变换，求得临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为

响应曲线如图3-8所示，它既没有超调量，也没有振荡，是一个单调上升的响应过程。

（3）ζ＞1，称为过阻尼二阶系统。

当阻尼比ζ＞1时，系统有两个不相等的实数根

对于单位阶跃输入，系统输出的Laplace变换为

对式（3-23）取Laplace反变换，求得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应为

它由两个指数衰减项组成。当ζ较大时，一个特征根靠近虚轴，另一个特征根远离虚轴。离虚轴较远的特征根对响应的影响很小，可以忽略不计，这时二阶系统可近似为一个一阶惯性环节。图3-9是过阻尼二阶系统根的分布和响应曲线。显然，响应曲线无超调量，而且上升时间比ζ=1时长。

不同ζ值下二阶系统单位阶跃响应曲线族，如图3-10所示。由于横坐标为ω_nt，所以曲线族只与ζ值有关。由图可知，在一定ζ值下，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快地达到稳态值，过阻尼反应迟钝，动作很缓慢，所以一般系统大多设计成欠阻尼系统。

下面来分析二阶系统的脉冲响应。

当输入信号为单位脉冲信号δ（t），即R（s）=1时，二阶系统单位脉冲响应的Laplace变换为

对式（3-25）求Laplace反变换，得

可见，系统传递函数的Laplace反变换就是系统的单位脉冲响应，所以单位脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统的特征。

由式（3-26），对于欠阻尼系统（0＜ζ＜1），有

对于临界阻尼二阶系统ζ=1，有

对于过阻尼二阶系统ζ＞1，有

图3-11给出了ζ取不同值时的单位脉冲响应曲线。

其实，由于单位脉冲信号是单位阶跃信号对时间的导数，线性定常系统的单位脉冲响应必定是单位阶跃响应对时间的导数，所以式（3-27）、式（3-28）、式（3-29）可由式（3-16）、式（3-21）、式（3-24）对时间求导得到。

3.二阶系统的性能指标

在控制系统设计中，除了不容许产生振荡响应的系统，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、较快的响应速度和较短的调节时间。所以，根据欠阻尼响应来评价二阶系统的响应特性，具有较大的实际意义。

为了便于说明二阶系统的动态性能，图3-12给出了欠阻尼二阶系统各特征参量之间的关系。其中，衰减系数σ是闭环极点到实轴之间的距离；阻尼振荡频率ω_d是闭环极点到虚轴之间的距离；自然振荡频率ω_n是闭环极点到坐标原点之间的距离；ω_n与负实轴夹角的余弦正好是阻尼比，即

故β称为阻尼角。

对于单位阶跃输入作用下的欠阻尼系统，有

1）上升时间t_r

按式（3-16），令c（t_r）=1，可得

故

由式（3-31）知，要使系统反应快，必须减小t_r。因此当ζ一定时，ω_n必须加大；如果ω_n一定，则ζ越小，t_r也越小。

2）峰值时间t_p

按式（3-16），对c（t）求一阶导数，并令其为零，可得

到达第一个峰值时，ω_dt_p=π，故

由式（3-32）知，峰值时间t_p与阻尼振荡频率ω_d成反比。当ω_n一定时，ζ越小，t_p也越小。

3）超调量σ_p%

因为超调量发生在峰值时间上，以t=t_p代入式（3-16），可得超调量为

由式（3-33）知，超调量仅取决于ζ，ζ越小，超调量越大。当ζ=0时，σ_p%=100%；当ζ=1时，σ_p%=0。σ_p%与ζ的关系曲线如图3-13所示。

4）调节时间t_s

根据定义可以求出调节时间t_s，如图3-14所示。图中，T=1/ζω_n为c（t）包络线的时间常数，当ζ=0.69（或ζ=0.77）时，t_s有最小值，以后t_s随ζ的增大而近乎线性上升。图3-14中曲线的不连续是由于ζ在虚线附近稍微变化引起突变造成的，如图3-15所示。

t_s也可以由系统误差的包络线近似求得，即令e（t）的幅值

可得

当0＜ζ＜0.9时，则

或

由此可知，ζω_n越大，t_s就越小。当ω_n一定时，则t_s与ζ成反比，这与t_p、t_r和ζ的关系正好相反。

5）稳态误差e_ss

系统的误差为

当t→∞时，稳态误差e（∞）=0。

由上述分析可知，欠阻尼二阶系统动态响应的性能指标取决于阻尼比ζ和自然振荡频率ω_n。通过选取ζ和ω_n来满足系统设计要求，可总结为：

（1）当ω_n一定时，要减小t_r和t_p，必须减小ζ值；要减小t_s，则应增大ζω_n值，而ζ值有一定范围，不能过大。

（2）增大ω_n，能使t_r、t_p和t_s都减小。

（3）超调量σ_p%仅由ζ决定，ζ越小，σ_p%越大。所以，一般根据σ_p%的要求选择ζ的值，在实际系统中，ζ值一般为0.5～0.8。而对各种时间的要求，可通过ω_n的选择来满足。要实现这一点，一般需要对图3-6所示的二阶系统进行校正。

4.线性定常系统的重要特性

对于初始条件为零的线性定常系统，在输入信号r（t）的作用下，其输出c（t）的Laplace变换为C（s）=Φ（s）R（s）。

若系统的输入为，其Laplace变换为，这时系统的输出为

C₁(s)=Φ(s)R₁(s)=Φ(s)sR(s)=sC(s)

故c₁（t）=，即当系统输入信号为原来输入信号的导数时，系统的输出为原来输出的导数。

同理，若系统的输入为r₂（t）=∫r（t）dt，其Laplace变换为，这时

故c₂（t）=∫c（t）dt，即在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号对时间的积分时，系统的输出则为原来输出信号对时间的积分。

由以上分析可推知如下两点。

（1）由于单位脉冲信号是单位阶跃信号对时间的一阶导数，故单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的一阶导数。同理，由于单位阶跃信号是单位斜坡信号和单位抛物线信号对时间的一阶导数和二阶导数，所以单位阶跃响应可以由单位斜坡响应和单位抛物线响应对时间的一阶导数和二阶导数求得。

（2）由于单位斜坡信号和单位抛物线信号是单位阶跃信号对时间的一重积分和二重积分，所以单位斜坡响应和单位抛物线响应就为单位阶跃响应对时间的一重积分和二重积分。

这样，只要知道系统对某一典型信号的响应，对其他典型信号的响应也可推知，这是线性定常系统独具的特性。

5.二阶系统的性能改善

通过调节典型二阶系统的两个基本参数——阻尼比ζ和自然振荡频率ω_n，可以改善系统的动态性能。但是，由于只有两个参数选择的自由度，这种改善的效果是有限的，难以兼顾响应的快速性、平稳性以及系统的瞬态和稳态性能的全面要求，必须引进其他控制方式，以改善二阶系统的性能。

为了改善二阶系统的性能，需要在系统结构中加入附加装置，通过调节附加装置的参数，来改善系统的瞬态性能，常用的两种方法是比例—微分控制和测速反馈控制。

1）比例—微分控制

设比例—微分控制的二阶系统如图3-16所示。图中，E（s）为误差信号，T_d为微分器时间常数。由图可知，系统输出量同时受误差信号及其速率的双重作用。因此，比例—微分控制器是一种早期控制，可在出现位置误差前，提前产生修正作用，从而达到改善系统性能的目的。

图3-16所示系统的开环传递函数为

闭环传递函数为

式中，为系统的等效阻尼比。

上式表明，比例—微分控制不改变自然振荡频率，但可增大系统的阻尼比，抑制振荡。适当选择微分时间常数T_d，可使系统既有良好的平稳性，又有满意的快速性。比例—微分控制相当于给系统增加了一个零点，故称为有零点的二阶系统。

系统输出的Laplace变换为

时间响应为

第一项对应典型二阶系统的时间响应，第二项为第一项的微分附加项。微分附加项增加了时间响应中的高次谐波分量，使响应曲线的前沿变陡，提高了时间响应的快速性，如图3-17所示。

最后，简要归纳比例—微分控制对系统性能的影响。

比例—微分控制可以增大系统的阻尼，使阶跃响应的超调量下降，调节时间缩短，且不影响常值稳态误差及系统的自然振荡频率。由于采用微分控制后，允许选取较高的开环增益，因而在保证一定动态特性的前提下，可以减小稳态误差。微分器对于噪声，特别是对于高频噪声的放大作用，远大于对缓慢变化输入信号的放大作用，因此在系统输入端噪声较强的情况下，不宜采用比例—微分控制方式。此时，可考虑选用控制工程中常用的测速反馈控制方式。

2）测速反馈控制

输出量的导数同样可以用来改善系统的性能。通过将输出的速度信号反馈到系统输入端，并与误差信号比较，其效果与比例—微分控制相似，可以增大系统阻尼，改善系统动态性能。

如果系统输出量是机械位置，如角位移，则可以采用测速发电机将角位移变换为正比于角速度的电压，从而获得输出速度反馈。图3-18是采用测速发电机反馈的二阶系统结构框图。图中，K_t为与测速发电机输出斜率有关的测速反馈系数，通常采用（电压/单位转速）单位。

由图3-18知，系统的开环传递函数为

其中开环增益为

相应的闭环传递函数为

其中，

由式（3-41）～式（3-43）可知，测速反馈与比例—微分控制不同的是，测速反馈会降低系统的开环增益，从而加大系统在斜坡输入时的稳态误差；相同的是，同样不影响系统的自然振荡频率，并可增大系统的阻尼比。为便于比较，将式（3-38）写为

比较式（3-43）和式（3-44）可知，它们的形式是相似的，如果在数值上有K_t=T_d，则ζ_d=_tζ。因此可以预料，测速反馈同样可以改善系统的动态性能。但是，由于测速反馈不形成闭环零点，因此，即便在K_t=T_d的情况下，测速反馈与比例—微分控制对系统动态性能的改善程度也是不同的。

在设计测速反馈控制系统时，可以适当增大原系统的开环增益，以弥补稳态误差的损失，同时适当选择测速反馈系数K_t，使阻尼比_tζ为0.4～0.8，从而满足给定的各项动态性能指标。

对于理想的线性控制系统，在比例—微分控制和测速反馈控制方法中，可以任取其中一种方法来改善系统性能。然而，实际控制系统有许多必须考虑的因素，例如系统的具体组成、作用在系统上噪声的大小及频率、系统的线性范围和饱和程度等。下面仅讨论主要的差别。

（1）附加阻尼来源：比例—微分控制器的阻尼作用产生于系统输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差。

（2）使用环境：比例—微分控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用比例—微分控制。同时，微分器的输入信号为系统误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。

（3）对开环增益和自然振荡频率的影响：比例—微分控制对系统开环增益和自然振荡频率均无影响；而测速反馈控制虽然不影响自然振荡频率，但会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然振荡频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。

（4）对动态性能的影响：比例—微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的条件下，比例—微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。