2.3.1 传递函数的基本概念

1.定义

线性系统的传递函数，定义为零初始条件下，输出变量的Laplace变换与输入变量的Laplace变换之比，记为G（s）。控制系统的零初始条件有两个方面的含义：一是指输入量在t≥0时才作用于系统，因此，在t=0-时，输入量及其各阶导数均为零；二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即输出量及其各阶导数在t=0-时的值也为零。现实的工程控制系统多属第二类情况。

考虑由如下线性常微分方程描述的动态系统

其中，c（t）是系统的输出量；r（t）是系统的输入量；a_i（i=0，1，2，…，n）和b_j（j=0，1，2，…，m）是与系统结构和参数有关的常数项。为了获得系统的传递函数，设c（t）和r（t）及其各阶导数在t=0时的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项取Laplace变换，并令C（s）=L[c（t）]，R（s）=L[r（t）]，可得关于s的代数方程为

[a_nsn+a_n-1sn-1+…+a₁s+a₀]C(s)=[b_msm+b_m-1sm-1+…+b₁s+b₀]R(s)

于是，由定义可得系统的传递函数为

其中，M（s）=b_msm+b_m-1sm-1+…+b₁s+b₀；N（s）=a_nsn+a_n-1sn-1+…+a₁s+a₀。由系统的传递函数，求Laplace反变换可以得到系统在零初始条件下的时域响应为

为了便于采用传递函数描述系统特性，常采用的传递函数形式为

（1）首1标准型，也称为零极点表达式，具体表达式如下：

其中，p₁，p₂，…，p_n为分母多项式的根，称为传递函数的极点；z₁，z₂，…，z_m为分子多项式的根，称为传递函数的零点；k_g=b_m/a_n，称为传递系数或根轨迹增益。如果系统的传递函数确定了，则零、极点和k_g也确定了；反之亦然。因此传递函数可用零极点和传递系数等价表示。将系统的零极点表示在复平面上，形成的图称为传递函数的零极点分布图。它能反映系统的动态性能，因此对系统的研究，可转换为对系统传递函数的零、极点的研究。

（2）尾1标准型，也称为时间常数表达式，具体表达式如下：

其中，一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于共轭复数零极点。_iτ和T_j称为时间常数；称为传递系数或增益。传递函数的这种表示形式在频率分析法中使用较多。

2.性质

传递函数作为一种数学模型，是联系输出变量和输入变量微分方程的一种运算方法。根据传递函数的定义可知它具有如下性质。

（1）传递函数作为一种数学模型，只适用于线性定常系统。而对于非定常系统，即时变系统，系统中只要有一个参数随时间变化，就可能无法运用Laplace变换。

（2）传递函数是以系统本身参数描述的线性定常系统输入—输出的关系式，表达了系统的内在固有特性，只与系统结构、参数有关，而与输入量的形式无关。因此，它并不能反映系统内部的结构和动态行为信息。

（3）由于单位脉冲输入信号的Laplace变换为1，系统传递函数G（s）的Laplace反变换即为单位脉冲响应。因此，单位脉冲输入信号作用下系统的输出完全描述了系统的动态特性，也称为系统的数学模型，通常称为脉冲响应函数。

（4）传递函数的分母多项式称为特征多项式，记为