2.2.1 典型元部件的微分方程

1.直流伺服电机的动态方程

随动控制系统的执行机构通常由各种类型的伺服电机、减速器和机械传动机构组成。由于现代兵器的几何空间有限，一般采用体积小、效率高、快速性好的直流伺服电机。直流伺服电机可采用永磁体产生固定磁场或采用激磁绕组产生磁场。一般磁场固定不变，用电枢来控制。对于具有激磁绕组的电动机，还可将电枢电流固定不变，用磁场来控制。但激磁绕组电感量较大，时间常数也较大，因此在伺服系统中一般不采用磁场控制。

电枢控制直流伺服电机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压在电枢回路中产生电枢电流，再由电枢电流与激磁磁通相互作用产生电磁转矩，从而带动负载运动。因此，直流伺服电机的运动方程由三部分组成。图2-1给出了磁场固定不变（激磁电流i_f为常数），电枢控制直流伺服电机的原理图。图中，电枢电压e_a为输入量；电动机的转角θ为输出量；R_a为电枢绕组的电阻，单位为Ω；L_a为电枢绕组的电感，单位为H；i_a为电枢绕组中的电流，单位为A；i_f为磁场电流，单位为A；e_b为反电动势，单位为V；M为电动机产生的转矩，单位为N·m；J为电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量，单位为kg·m2；f为电动机和负载折合到电动机轴上的黏性摩擦系数，单位为kg·m·s。

（1）电枢回路电压平衡方程：电机的转速由电枢电压e_a控制，而电枢电压e_a由功率放大器提供，那么根据基尔霍夫定律，电枢回路的方程为

其中，电枢反电动势e_b是电枢旋转时产生的电势，其大小与激磁磁通及电机转速成正比，方向与电枢电压e_a相反，即

其中，C_e为反电动势常数。

（2）电磁转矩方程：电动机产生的转矩M与电流i_a和气隙磁通Φ的乘积成正比，即

而Φ又与激磁电流i_f成正比，即

Φ=K_fi_f

其中，K_f为常数。因此，转矩为

M (t)=C_mi_a(t)K_fi_f

在电枢控制直流伺服电机中，激磁电流保持不变，因此，磁通量也是常数，转矩仅与电枢电流成正比，即

其中，K为电动机力矩常数。

（3）电动机轴上的转矩平衡方程：电枢电流产生的转矩用来克服系统的负载力矩、惯性和摩擦，根据旋转运动定律，有

其中，M_l为折合到电动机轴上的总负载转矩。

将式（2-4）代入式（2-5），并与式（2-1）联立求解，整理后可得

式（2-6）为三阶微分方程。如果要得到输出转速ω与输入电压e_a之间的关系，则式（2-6）可写为

在工程应用中，由于电枢电路电感L_a较小，通常可忽略不计，因而式（2-7）可简化为

其中，T_m=R_aJ/（R_af+KC_e）为电动机机电时间常数，C_m=K/（R_af+KC_e），K_c=R_a/（R_af+KC_e）是电动机传递系数。

如果电枢电阻R_a和电动机的转动惯量J都很小，可以忽略不计，那么式（2-8）还可进一步简化为

这时，电动机的转速与电枢电压成正比，于是，电动机可作为测速发电机使用。

2.速率陀螺仪的动态方程

鱼雷、导弹的转动角速率常由速率陀螺仪测量。速率陀螺仪的原理图如图2-2所示。

当速率陀螺仪绕输出轴I以ω_I转动时，由于陀螺效应，产生进动力矩M_T=Hω_I（H为陀螺角动量），使陀螺转子轴向输入角速度方向进动，进动角为β。同时力矩器产生一个与β成正比的力矩M=kβ与M_T平衡。在平衡条件下，一个恒定的ω_I对应一个β值。β角的大小就是输入角速度ω_I的度量，即

传感器将β转换为电信号U_ωI得

其中，k_gr为速率陀螺仪传递系数，单位为V/（（°）s-1）。由于传感器的电源一般是交流的，所以U_ωI也是交流信号。

在控制系统的设计中，必须考虑速率陀螺仪的动态特性，其动态特性可用一个二阶微分方程描述，即

这是典型的二阶振荡环节，是它的固有频率；ζ_gr是相对阻尼系数。兵器控制系统设计对k_gr、ω_gr、ζ_gr都应有明确的要求，k_gr的允许误差一般为5%；ω_gr的偏差一般为±10%或不大于某个值，ζ_gr的允许偏差一般为±30%。

当沿着弹体或雷体坐标系正交地安装三个速率陀螺仪时，它们分别测量弹体或雷体转动角速度在O_x、O_y、O_z三个轴上的分量ω_x、ω_y、ω_z。

3.加速度计的动态方程

由于加速度计可以感测线加速度和重力加速度，因此常常用来测量现代兵器的运动加速度和水平姿态角。图2-3给出了常用摆式加速度计的结构原理图，图中圆筒形转动体称为摆组件，摆组件通过轴承与仪表壳体相连。摆组件的质心不在转动轴上，偏心距为e，定位扭杆产生与转角成正比的弹性恢复力矩。为了减小轴承摩擦力矩，并产生所需的阻尼力矩，仪表壳体内充满了浮液，使组件处于半悬浮状态。

取坐标系Ox₀y₀z₀固连于仪表壳体（基座），Ox₁y₁z₁坐标系与摆组件固连，两坐标系之间绕Oz₀轴的转角为θ。当θ=0时，弹性力矩为零。角度θ可由安装在Oz₀轴向的角传感器测得，故Oz₀轴称为加速度计的输出轴。

设基座（鱼雷或导弹）以加速度a运动，则摆组件所受的惯性力为-ma，摆组件质量m又受到重力mg作用，故合外力F=m（-a+g）=mf，若在坐标系Ox₀y₀z₀上的投影为

F0=[mf_xmf_ymf_z]T

则在坐标系Ox₁y₁z₁上的投影为

该力产生绕组件Oz₁轴的力矩为

摆组件又受到弹性力矩-Cθ、阻尼力矩和干扰力矩的作用，故摆组件绕Oz₁轴的角运动方程为

将式（2-14）代入式（2-15），整理可得

当θ很小时，稳态方程可近似为

角度θ与基座在Ox₀轴上的比力成正比，故Ox₀轴为输入轴，比力f_x=-a_x+g_x，a_x为基座沿输入轴的加速度分量，g_x为重力加速度g在输入轴上的分量。

综上所述，列写元部件微分方程的步骤可归纳如下。

（1）根据元部件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定输入量和输出量；

（2）分析元部件工作中所遵循的物理规律或化学定理，列写微分方程；

（3）消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，便是元部件的时域数学模型。一般情况下，应将微分方程写成标准形式，即与输出量有关的项写在方程的左端，与输入量有关的项写在方程的右端，方程两端变量的导数均按降幂排列。