3 位-值记号

古巴比伦学者的黄金时期大约开始于公元前3000年，留下了许多文化遗产。在这些遗产中，小时制是其中的一个。1h等于60min，1min等于60s，这些都是来自古巴比伦表示数字的六十进制系统，即以60为基数。今天，我们习惯用十进制，以10作为数字系统的基数。不管基数如何选择，古巴比伦人的这个创新——将数字排成列，且使数字位置和数字符号本身拥有同样重要的意义，标志着人类思想史上的关键时期。

成千上万年以来，人们用数字来表示和理解世界。但是，数字怎样才能被更好地表示出来呢？在史前，刻痕足以满足当时人们的各种基本需求。但是，随着人们定居下来建成稳定的城邦，文明不断发展，更复杂的数字系统也开始被制定出来。有一个特别重要的创新出现在古巴比伦的黏土板上，它对人类的发展起到举足轻重的作用。当时，古巴比伦是世界上最大的城邦，呈现出前所未有的繁荣。

古巴比伦是美索不达米亚的一个城邦，它的强盛归因于它先进的农业。在作为本地区中心的上千年历史中，古巴比伦在苏美尔人（Sumerian）和闪米特人（Semitic）之间经历过几次政权的更迭，同时科学、文字和文化都发展到前所未有的高度。古巴比伦人编制了年历，以12个月为一年。他们还首先制定以7天为一星期，每星期的最后一天为休息日。古巴比伦的科学家们也研究星相，本地的植物、动物，医药和数学等。

古巴比伦数学

在楔形文字中，一个纵向的细楔形表示1，多个这样的楔形可以表示数字2～9。引入一个新的楔形（横向的粗楔形）来表示10，多个10的符号的组合可以表示出10、20、30、40和50。用这些文字符号就可以书写数字1～59。

对于数字1～59，古巴比伦记数系统是寻常的，与许多其他文化的数字记号相比没有什么特别之处。但是，当表示数字60时，它的真正意义就体现出来了。古巴比伦人不是用6个表示10的符号组合来表示，而是在其左边开始新的一列，写入表示1的符号来表示。

这与我们今天书写10的方法极为类似。数字10不再像数字1～9那样拥有自己的文字符号，而是由一个1来表示。但是1的位置，在其左边新的一列里，意味着它代表“1个10”。

进位和借位

只有在历史的长河里，位–值记号的重要性和优越性才能凸显出来。可是，通过回顾历史，我们可以认识到位–值记号的引入是科学史上的重大事件。位值制是表示数字的一种方便、快捷的方法，并使数学运算更易进行。

其他数字系统，如罗马数字，虽然在实际中很容易识读，但用它进行简单的运算，如乘法和除法，会变得晦涩难懂和不够自然。有了位值制，我们可以从一列到另一列进行“进位”或“借位”，使运算可以更清晰明了地进行。这为之后更先进的数字系统和代数理论的发展铺好了道路。

位–值记号的优点是显而易见的。随着文明和科学发展的水平越来越高，我们需要用的数字也越来越大。对于一群从事狩猎、采摘的人来说，应用数值小的数字和基于刻画的记数系统已经足够，但对于拥有50000人口和科学家“满天飞”的城市来说，所需要的要远远高于此。利用位–值记号，古巴比伦记录员可以仅用3列符号来表示小于216 000的任意一个数。

有了位值制，我们可以从一列到另一列进行“进位”或“借位”，使运算可以更清晰明了地进行。这为之后更先进的数字系统和代数理论的发展铺好了道路。

古巴比伦泥板

考古学家在当今伊拉克发现了几百块泥板，这能为我们提供一些古巴比伦数学发展的情况。其中最著名的是“普力马普顿322”（Plimpton 322），可追溯到大约公元前1800年。很多年以来，它都被认为是一个毕达哥拉斯勾股数表，毕达哥拉斯勾股数如（3,4,5），（5,12,13）（见第5篇）。但是，现在普遍认为它是为了成为抄写员而需要做的一批练习题。这些泥板也包含了求解一元二次方程（见第20篇）的方法，用到了直到花拉子米才完全标准化的方法。同时，在几何学方面，古巴比伦人已经掌握了后来被称为毕达哥拉斯定理（见第5篇）的知识。

零的呼唤

位值制自然会引出零的重要概念。为了区别“21”和“201”，这需要体现出表示中间十位的列是有空位的，而不是不存在的。考古记录很清楚地展示了这一发展过程。早期古巴比伦泥板仅把中间列留空，不写文字，就像我们写“2 1”。但是，这是很容易误读的。到公元前700年，古巴比伦人已经引入一个停顿符号来表示一个空列。虽然他们不可能把这个特殊符号当成一个真正的数，但这是零的概念的一个重要先驱事件。数世纪后，零的概念出现在印度（见第19篇）。