3.1　弹性力学基本方程

各向异性弹性体内同一点各微分面上的应力状况可用应力张量σij表示,弹性体内同一点的各微分面上的应变状况用应变张量Sij表示。对于小变形来说,物体任一点的应力(9个分量)、应变(9个分量)和位移(3个分量)可以用变形前质点坐标描述,它们必须满足平衡微分方程、几何关系和变形协调方程。

3.1.1　应力状态理论

在笛卡儿坐标系中,用6个平行于坐标面的截面在P点的领域内取出一个正六面体微元,如图3⁃1所示。

图3⁃1　笛卡儿坐标系中的应力张量

其中,外法线与坐标轴xi(i=1,2,3)同向的三个面元称为正面,记为dai,它们的单位法向矢量为li=ei,ei是笛卡儿坐标系的基矢量,另三个外法线与坐标轴反向的面元称为负面,它们的法向单位矢量为-ei。把作用在正面dai的应力矢量σ(i)(i=1,2,3)沿坐标轴正向分解共得到9个应力分量,它们作为一个整体称为应力张量:

(σij)=(3⁃1)

(1)平衡微分方程

如果物体在外力(包括面力和体力)作用下处于平衡状态,则将其分割成若干任意形状的单元体以后,每个单元体仍然是平衡的;反之,分割后每个单元体的平衡,也保证了整个物体的平衡。如果我们考虑物体内部任意一个微分平行六面体的平衡,即导出了平衡微分方程。设弹性体受到外力作用,其中单位体积的体力为X、Y、Z,则有平衡微分方程:

(3⁃2)

式(3⁃2)还可以表示为:

σij,i+Xj=0(3⁃3)

(2)静力边界条件

平衡微分方程表示应力在物体内部的平衡,而在物体表面,应力必须与表面上的外力平衡,设物体外法线的方向余弦为l、m、n,单位面积上面力的3个分量为Xn、Yn、Zn,则表面处的边界条件,即著名的柯西斜面应力公式为:

(3⁃4)

式(3⁃4)还可以表示为:

Xni=σjilj(3⁃5)

(3)应力张量的简化下标矩阵表示

由于应力张量σ具有对称性,因此它只有6个独立分量,为了反映这一特征和便于以后使用,常将σij的双下标简化为单下标,本书统一约定此种简化下标方式为:

从而可以得出:

σij→Tn　(i,j=1,2,3;n=1,2,3,4,5,6)(3⁃6)

平衡微分方程表示物体内部的平衡,而静力边界条件表示物体边界部分的平衡。如果已知应力分量满足平衡微分方程和静力边界条件,则物体是平衡的;反之,如物体是平衡的,则应力分量必须满足平衡微分方程和静力边界条件。但需指出,这里的平衡仅仅是静力学上可能的平衡,未必是物体实际存在的平衡。要使物体真正平衡,还要考虑物体变形的连续条件。要确定物体在已知载荷作用下的应力状态,必须求解平衡微分方程(3⁃2),而且必须能满足边界条件(3⁃4)。显然一个点的应力状态需要6个独立的未知数,而平衡方程只能给定3个方程,这是一个超静定问题,为了求得解答,还必须考虑物体的形变。

3.1.2　应变状态理论

(1)几何方程

物体在小变形情况下,体内各点的相对位置会发生变化。认为弹性体各点的位移ui的各分量是它们位置坐标xi的线性函数,则其应变状态可以由质点位移u、v、w表达为:

Sij=(3⁃7)

显然,Sij=Sji,应变张量也是对称张量,其中:

S11=,　S22=,　S33=(3⁃8)

S11、S22、S33为正应变分量,表示x1、x2、x3方向上的相对伸长。

(3⁃9)

式(3⁃9)为切应变分量,图3⁃2为S23的示意图,是一个二维图形ABCD在切应力σ23和σ32作用下的纯剪切变形。

图3⁃2 　应变剪切分量示意图

当形变量很小时,应变分量

S23=S32==(∠ADA’+∠CDC’)(3⁃10)

转动图形A’B’C’D’,令C’返回C,则按照工程剪切应变γ的定义:

γyz=2S23=2S32=(∠ADA’+∠CDC’)(3⁃11)

即工程剪切应变为张量剪切应变的2倍。正是由于这个区别,应变张量分量在下标简化时取:

S1=S11,　S2=S22,　S3=S33(3⁃12a)

S4=2S23=2S32,　S5=2S13=2S31,　S6=2S12=2S21(3⁃12b)

同理,可以求出其他工程剪切应变:

γxz=+

γxy=+(3⁃13)

式(3⁃7)所示的线性微分方程组称为应变位移公式或几何方程,其中Sij表示应变张量。由几何方程通过位移分量求导得应变分量;但是给定应变反求位移就难得多,并不总是可行。只有当应变满足应变协调方程时才可行。

(2)应变协调方程

对于单值连续的位移场,位移分量对坐标的偏导数应与求导顺序无关,由此可以导出应变分量的协调条件。

Sij,kl+Skl,ij-Sik,jl-Sjl,ik=0(3⁃14)

这是存在单值连续位移场的充分必要条件。将式(3⁃14)在直角坐标系中展开得到的常用形式是:

(3⁃15)

3.1.3　本构关系

从静力学和几何学的角度导出了连续介质所共同满足的平衡方程、几何方程和协调方程,这些方程共有15个未知数,除去协调方程共计9个方程。显然,方程中出现的未知量数多于可利用的方程数,仅用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题,因为在推导这些方程时,并没有考虑应力与应变的内在联系,而实际上它们是相辅相成的,它们之间的关系称为本构关系或本构方程。

广义胡克定律反映了各向异性弹性体中应力与应变的线性关系,构成各向异性弹性力学的本构方程。它取代了各向同性的胡克定律,这是与各向同性弹性力学基本方程的不同。

在小变形情况下,对于各向异性弹性体,任何一个应力分量都可能引起任何一个应变分量的变化,在任意正交坐标系中,广义胡克定律可写成下列形式:

(3⁃16)

式中,sij为弹性柔度系数。

对式(3⁃16)求逆,可得到另一种形式的广义胡克定律:

(3⁃17)

式(3⁃16)和式(3⁃17)中的弹性柔度矩阵s和弹性刚度矩阵c有下列关系:

c=s-1(3⁃18)

根据热力学关系可以证明:sij与cij均为对称矩阵。假定在应力作用下,应变有增量dSi,则系统单位体积的能量增量dW为:

dW=TidSi=cijsjdSi(3⁃19)

于是:=Ti=cijSj

再对Sj微商:=cij

类似地:=cji

由于微商顺序不应该影响能量变化结果,故有:

cij=cji(3⁃20)

同理

sij=sji(3⁃21)

3.1.4　静力学唯一性定理(Kirchhoff⁃Neumann唯一性定理)

在已知外力作用下,如果弹性体处于平衡状态,则在给定边界条件下,弹性体各点的应力分量与应变分量是唯一的。

线弹性静力学边值问题提法如下(自变量为空间坐标xi)。

平衡微分方程:σij,j+Xj=0

几何方程:Sij=(ui,j+uj,i)

应力应变关系:σij=cijklSkl(3⁃22)

边界条件　Γσ:σijmj=(指定外应力)

边界条件Γu:ui=(指定位移)

假设在同一体积力(X,Y,Z)作用下,并在同一边界条件有两种不同解答,即(σ’ij,S’ij,u’i)与(σ″ij,S″ij,u″i),令两组解之差为:

(3⁃23)

满足下列要求:

平衡微分方程:σij,j=0

几何方程:Sij=(ui,j+uj,i)

应力应变关系:σij=cijklSkl(3⁃24)

边界条件Γ_σ:σijmj=0

边界条件Γ_u:ui=0

这就构成了线弹性静力学边值问题的一个特殊情形,即体积力为零,在边界Sσ上指定的外力和在边界Su上指定位移为零。

在小位移理论中,微小的实位移满足虚位移的条件,虚功原理表达式为:

(3⁃25)

式中,为静力可能的应力;为几何可能的应变;为几何可能的位移。

应用于边值问题的特殊情形式(3⁃24)得:

0=∭VfiuidV+∬uida+∬uida

=∭VσijSijdV=2∭VΠ1(Sij)dV(3⁃26)

因线弹性应变能密度函数Π1(Sij)是应变分量的正定的二次齐次函数,则可得:

Sij=S’ij-S″ij=0　即 S’ij=S″ij(3⁃27)

再根据线弹性应力应变关系,得:

σij=σ’ij-σ″ij=0　即σ’ij=σ″ij(3⁃28)

这就是说,线弹性静力学问题的一个特殊情形表达式(3⁃24)有唯一解,即得到唯一的零应力场和零应变场,由此也就证明了线弹性静力学边值问题的一般情形的表达式(3⁃22)有唯一解,即得到了唯一的应力场与应变场。