2.3　传感器与执行器的物质效应模型

晶体的压电性质反映了晶体宏观电学性质与力学性质之间的耦合,要比较全面地了解晶体的压电性质,需将晶体作为一个热力学系统来研究。

2.3.1　六种能量间的物质效应模型

随着晶体物理宏观唯象理论研究的深入,特别是由于光学与声学量测试与控制及其传感器开发的需要,经过大量调查研究,笔者导师孙宝元教授等在四种能量集纳物性效应模型的基础上又提出机、电、热、磁、声、光等六种能量间物性效应新模型,见图2⁃6,这是一个三维立体模型。六种示强变量(即广义力)分布在通过对角线相互正交的三个正方形的顶点上,与其相对应的示容变量(即广义位移),则分布在两正方形的交线上,从而形成12种物理量空间点阵,各参量之间的连线便构成6种主效应和126种交叉效应。如果再考虑二次、三次感生效应,则各物理量之间的效应可达数百种以上。值得注意的是,该模型几乎包含了所有的现有模型,即ETθ为Heckmann模型;ETK为Thurston模型;ETθH为4种能量间的物性效应模型。而且根据需要,可以任意组成新的三角形或多边形模型。

图2⁃6　六种能量间的物质效应模型

图2⁃6中,K为光能的示强变量(广义力);Λ为光能的示容变量(广义位移);P为声能的示强变量(有效声压);ν为声能的示容变量(有效质点速度);T为弹性能的示强变量(应力);S为弹性能的示容变量(应变);E为电能的示强变量(电场强度);D为电能的示容变量(电位移);H为磁能的示强变量(磁场强度);B为磁能的示容变量(磁感应强度);θ为热能的示强变量(温度);S*为热能的示容变量(熵)。

(1)晶体六种能量关系式

如果从晶体热力学角度来考虑,该模型全面地反映能量(势函数)间的内在关系。吉布斯自由能可扩展为

G*=U-θS*-TjSj-EkDl-HmBn-KoΛp-PqVr(2⁃13)

式中　KΛ——光能,K为光能(主要是光子能量的集合)的示强变量(广义力),Λ为光能的示容变量(广义位移);o,p=1,2,3;

PV——声能,P为有效声压(示强变量,广义力),V为有效质点速度(示容变量,广义位移);q,r=1,2,3。

当G*=0时,则物质内能

U=θS*+TiSj+EkDl+HmBn+KoΛp+PqVr(2⁃14)

当晶体受到外界某种扰动时,上式可用微分形式表示出来,即

du=θdS*+S*dθ+TjdSj+Sjdti+Λ+VrdPq

dU=±ΨdΩ±ΩdΨ(2⁃15)

式中,Ψ与Ω为势函数的共轭参量,当自变量Ω或Ψ为广义位移时,Ψ或Ω前的符号取“+”,当Ω或Ψ为广义力时,则取“-”。

由上式可以看出,外界对晶体产生任何扰动,晶体内能和可做功的自由能都将发生变化。同时,相关参量也将发生变化,即“牵一发而动全身”,这也可以从各共轭参量的麦克斯韦关系式得到进一步证明。只不过当时的麦氏关系式中尚未包括光与声两个势函数而已。

(2)晶体物性效应的通用表达式

如果从晶体的主效应与交叉效应来考虑,将同一能量系统之间的物性关系称为主效应,图2⁃6中用粗箭头表示。构成主效应的两个参量称为共轭参量,一对共轭参量,两者之积为势函数;两者之比为物性参数。除主效应外,其余统称为交叉效应。经分析确认,利用这个完备的新模型,通过物性参量的本构关系的广义表达式可以将所有的物性效应全部表达出来。

仅以应用广泛的机电耦合效应(即正逆压电效应)为例,见图2⁃6中的梯形ETSD,该效应可以表示为应力场T、应变场S、电场E,以及电位移场D的耦合关系。为与前面的热力学系统能量方程相区别,将下列本构关系写成为机电耦合方程的矩阵表达式,实质上也是能量转换关系式。

Dj=SlkEk+dliTi+eljSj+…(11Item)(2⁃16)

Sj=rjiTi+djkEk+ejiDl+…(11Item)(2⁃17)

Ek=ε’klDl+d’kjSj+vkiTi+…(11Item)(2⁃18)

Tj=r’ijSj+d’ilDl+v’ikEk+…(11Item)(2⁃19)

由式(2⁃16)~式(2⁃19)可知,当等号右边第2项及其自变量矩阵(T,S,E,D,…)分别为零时,则各式分别表示为主效应。其系数矩阵εji、、clk、分别为介电系数、介电隔离系数、弹性刚度系数、弹性柔顺系数。当右边第1项和第3项及以后各项的自变量矩阵为零或恒定时,则式(2⁃16)~式(2⁃19)分别表示为正压电效应和逆压电效应,以及其反向压电效应。

除机电耦合关系式外,其他能量间的耦合关系式也可以如上式同样列写。

为了便于说明,特作如下约定:将图2⁃6所示的六种能量模型分为外层结点(即广义力)和内层结点(即广义位移),本图内只表示这两个层次,即一次效应。如果欲描述等于或大于二次效应,则内层结点数也要相应增加。不同层面结点之间的连线(矢量)称为交叉效应;同一层面(不管是外层还是内层)不同结点之间的连线称为平行效应。可见,前者为广义力与广义位移参量之间的效应;后者为各广义力(或广义位移)参量之间的效应。

由麦克斯韦关系式反映到模型上,则呈现如下的规律。

任何两种能量之间的耦合(共有15种耦合),其两个交叉效应的系数相等,其两个平行效应的系数互为倒数且符号相反,即麦克斯韦关系式。交叉效应之间的关系有

(2⁃20)

平行效应之间的关系有

(2⁃21)

六种能量间的物性效应模型,每一物性参量(包括所有广义力和广义位移)与其他参量之间的本构关系,其通用表达式(唯象方程)在一级近似情况下为

[Xi]j=±[YilZλ]k(2⁃22)

式中　Xi——被示参量的i维矢量(单列矩阵)。

若X为标量,如θ、S等,则i=1;

若X为一阶张量,如E、D、H、B、K、P等,则i=1,2,3;

若X为二阶张量,并可化为6维矢量,如T、S等,则i=1,2,…,6;

j——所示参量的个序数,6个广义力和6个广义位移,故i=1,2,…,12;

Yil——两种参量之间的耦合系数矩阵;

Zλ——第k个与Xi耦合的自变量参量,

当Z为标量时,λ=1;

当Z为一阶张量时,λ=1,2,3;

当Z为二阶张量时,并可转化为6维矢量时,λ=1,2,…,6。

当从理论上不只考虑两种能量、4个参量之间的耦合,而是同时考虑多种能量(最多可达6种)、多个参量(最多可达12个)间的相互耦合时,则公式(2⁃16)~式(2⁃19)的通用表达式为

{[Xi]j}n=·{Zl}m(2⁃23)

表2⁃4为目前已发现和在科技中已应用的六种能量物性效应一览表,表中空白处为正在开发和尚未开发的效应。由该表进一步说明,光与声在众多的物性效应中具有重要的地位。只有六种能量间的相互作用,才能全面地反映物性效应变化的规律。

(3)结论

新模型是在以往的三种能量和四种能量间物性效应模型的基础上建立起来的,它全面形象地描述了力、电、光、声、热、磁等六种能量间的物性本构关系。根据本模型能较容易建立起物性本构方程和各种参量间的效应方程。同时,从热力学的角度也能全面的反映晶体物性参量的宏观规律。

该模型为空间层次化结构,最外层各结点为示强变量(广义力),内层结点为示容变量(广义位移),可分别构成主效应、交叉效应、平行效应等一次效应,若向内层扩展也可以描述二次、三次……效应。

表2⁃4　六种能量间的物性效应一览表

以机电耦合(压电)效应为例,给出了力与电两种能量间晶体材料本构关系表达式,并在同一公式中反映了主效应、交叉效应、平行效应,以及其之间的关系。

根据该模型不但能描述已知效应,而且可描述和预知尚未开发的效应。如光与磁、声与磁、声与热等许多效应有待进一步开发。

2.3.2　三种能量间物质效应G.Heckmann模型

如图2⁃7所示的Heckmann模型是在1925年由G.Heckmann提出的三种能量物性效应之间的各种关系,它描述了三种能量(机械能、电能与热能)的物理参量间的耦合关系所反映出的各种物理效应。

图2⁃7　三种能量间物质效应G.Heckmann模型

图2⁃7中三角形外层各顶点(应力T、电场强度E、温度θ)为示强变量,即自变量、广义力等;与之相对应的内层各顶点(应变S、电位移D、熵S*)为示容变量,即因变量,亦称广延变量、响应变量、式量变量、广义位移等。内外三角形对应的顶点连线(T⁃S、E⁃D、θ⁃S*)为主效应,其余各顶点之间的连线称为交叉效应,各种主效应与交叉效应的名称均标注在图上。

压电晶体根据其所处的热学条件可以分为等温状态(过程进行得极为缓慢)及绝热过程(过程进行得极为迅速)。在多数实际应用中,压电晶体的机械能与电能之间的转换是很快的,以致晶体与周围环境来不及热交换,因而系统近似处于绝热状态。因此在考虑晶体的压电效应时,一般并不关心晶体所处的热学条件,主要考虑电学量与力学量之间的耦合。在这种情况下,压电晶体所构成的热力学系统,其状态可用表现系统力学与电学性质的两对共轭状态参量应力Tλ与应变Sλ(λ=1,2,…,6)、电场强度Ei与电位移矢量Di(i=1,2,3)来描述,其中应力与应变为二阶对称张量,电场强度与电位移矢量为一阶张量(矢量)。对于二阶对称张量应力与应变,采用Voigt提出的下标缩并法来简化处理。选取广义位移(Sλ,Di)为自变量,考虑单位体积的晶体,系统的内能变化可表示为:

dU=TλdSλ+EidDi(2⁃24)

公式(2⁃24)联系自变量与响应变量之间关系式称为状态方程。数学上,公式(2⁃24)表示dU是函数U关于自变量的全微分。根据函数U(Sλ,Di)的全微分性质,并与公式(2⁃13)相比较可以得到自变量的共轭量如下:

Tλ=(2⁃25a)

Ei=(2⁃25b)

系统的吉布斯自由能为:

G(T,E)=U-TλSλ-EiDi(2⁃26)

利用式(2⁃24)和式(2⁃26)得出吉布斯自由能的微分形式:

dG=-SλdTλ-DidEi(2⁃27)

由式(2⁃27)可知

Sλ=-(2⁃28a)

Di=-(2⁃28b)

当外界约束参量相对于初态值(T,E)发生一个无穷小的扰动而变为(T+dT,E+dE)时,这时系统相对于初态Φ=(T,E;S,D)将发生一个无穷小的偏离,从而达到新的平衡态Φ*=(T+dT,E+dE;S+dS,D+dD),因此可以严格地写出(2⁃28)式的线性微分形式,即线性微分状态方程:

dSλ=dTu+dEj(2⁃29a)

dDi=dTu+dEj(2⁃29b)

在方程式(2⁃29)中,将联系约束变量与所对应的响应参量之间的系数称为物性参数(即表征晶体物理性质的参数),它们提供了状态参量之间线性耦合的量度。

由公式(2⁃28)和方程式(2⁃29)不难得到:物性参数为所对应约束下的势函数对约束变量的二阶微商。利用二阶微商可以交换求导顺序的性质,可以得出系数之间存在的关系——麦克斯韦关系:

==-(2⁃30)

以及系数下标的交换对称性关系:

==-(2⁃31)

引入物性参数。

弹性顺度系数:　　　　　　sλu=􀆟Sλ/􀆟Tu(2⁃32a)

介电系数:　　　　　　　　εij=􀆟Di/􀆟Ej(2⁃32b)

压电应变系数:　　　　　　diλ=􀆟Sλ/􀆟Ei=􀆟Di/􀆟Tλ(2⁃32c)

利用物性参数定义式(2⁃32a)~式(2⁃32c),线性状态方程式(2⁃29)可以写成:

dSλ=dσu+dλjdEj(2⁃33a)

dDi=diudσu+dEj(2⁃33b)

上面两个方程右边主对角线各项描述主效应,非主对角线各项描述耦合效应,且存在两种耦合程度相同的耦合效应,它们分别处在关于主对角线对称的位置。

由于任何实际过程都是有限的,而不是无穷小的变化过程,于是近似描述成为必要。对式(2⁃33)积分得实际应用中经常采用的积分形式的线性状态方程:

Sλ=Tu+dλjEj(2⁃34a)

Di=diuTu+Ej(2⁃34b)

在推导上式的过程中,实际上假定了各物性参数均为常数且取初态Φ0=(T0,S0,E0,D0)下的值,并且初态时T0=S0=E0=D0=0。物性参数均为常数这一假设只有当约束变量相对于平衡态不太大时才近似成立。

上面讨论了描述晶体压电效应的四种约束类型中的一种,即以广义力(应力Tu、电场强度Ei)作为独立变量表示的压电方程。由于描述力学行为和电学行为的独立变量可以任意选择,因此根据独立变量的不同选择,可得到不同形式的压电方程。

机械自由状态与电学自由状态(电学短路):

Sλ=Tu+dλjEj(2⁃35a)

Di=diuTu+Ej(2⁃35b)

机械自由状态与电学受夹状态(电学开路):

Sλ=Tu+gλjDj(2⁃36a)

Ei=-giuTu+Dj(2⁃36b)

机械夹持状态与电学自由状态(电学短路):

Tλ=Su-eλjEj(2⁃37a)

Ei=eiuSu+εijEj(2⁃37b)

机械夹持状态与电学受夹自由状态:

Tλ=Su-hλjDj(2⁃38a)

Ei=-hiuSu+βijEj(2⁃38b)

以上四种压电方程究竟选用哪一组来描述晶体的压电效应,要看所研究的具体问题的性质或实验测量条件而定。一般情况下为了方便,在应用中常选广义力(T,E)为约束变量来描述晶体的压电效应。

上面的四种压电方程从不同角度反映了压电晶体的机电耦合所遵从的规律,它们之间是相互关联的,从任何一组方程出发都可以推导出其余方程,也就是说,由任何一种约束类型所得到的四个不同物性参数出发,可以推出其他约束下的物性参数。这些系数之间有如下联系。

主效应物性参数之间的关系:

=δλv,=δλv(2⁃39a)

=δik,=δik(2⁃39b)

耦合效应物性参数之间的关系:

diu=eiλ=gju(2⁃40a)

eiu=diλ=hju(2⁃40b)

giu=hiλ=dju(2⁃40c)

hiu=giλ=eju(2⁃40d)

同一物性参数之间在不同约束条件下的相互关系:

-=ekλhku(2⁃41a)

-=-dkλgku(2⁃41b)

-=dipejp(2⁃41c)

-=-giqhjq(2⁃41d)

在上面论述中,并没有涉及材料的特殊性。事实上考虑到麦克斯韦关系式(2⁃30)和式(2⁃31)与晶体对称性(Neumann原理)对这些物性参数(张量)所施加限制,使得实际压电方程中物性参数的独立分量非常有限,从而可简化计算。