第三节 DFT的性质

本章第一节介绍了时间离散信号傅里叶变换的很多性质，这一节将介绍DFT的一些重要性质。读者可以发现DFT的性质与时间离散信号的傅里叶变换性质非常相似，这些性质归纳在表3-3中。

一、周期性

由于，k、m为整数，N为自然数，所以式（3-33）满足：

即X（k）是周期为N的周期函数。通常研究其中的一个周期0≤k≤N-1，并把它称为主值区间，于是有公式X（k）=X（k+mN）R_N（k）。

二、线性性质

若序列x₁（n）和x₂（n）是两个有限长的序列，长度分别为N₁和N₂，它们的离散傅里叶变换为X₁（k）=DFT[x₁（n）]和X₂（k）=DFT[x₂（n）]，那么序列y（n）=ax₁（n）+bx₂（n）（a，b是任意常数）的离散傅里叶变换Y（k）可表示为

三、循环移位

一个长度为N的有限长序列x（n），在区间[0，N-1]内有非零值。将该序列以N为周期作延拓，得到的周期序列用x（（n））_N或表示，它与原序列x（n）的关系可表示为

将向左平移m个单位，然后取主值区间[0，N-1]的值，可表示成

y（n）的产生过程可理解为将原序列x（n）向左平移m个单位，移出区间[0，N-1]的序列从坐标轴右边循环回来补充到[N-M，N-1]区间内，这种移位称作循环移位。y（n）的长度仍然为N，且区间范围与原序列一样。图3-4表示一个长度为5的序列循环移位的过程。图3-4a表示一个长度为5的有限长序列，图3-4b表示将该序列以5为周期进行周期延拓，图3-4c表示将图3-4b向左平移两个单位，图3-4d是取主值区间的序列。对照图3-4c发现，向左移出的两个点又从右边补充进来。

下面用MATLAB程序验证循环移位性质。

例3-10 已知一个8点的序列x（n）=10（0.5）ⁿ，0≤n≤7，绘出x（（n-3））₁₀。

解：MATLAB脚本如下：

其中函数cirshftt的程序如下：

运行结果如图3-5所示。

四、时移性质

已知x（n）是长度为N的有限长序列，y（n）是x（n）的循环移位，表示成

y（n）=x（（n+m））_NR_N（n）

y（n）的离散傅里叶变换Y（k）为

其中

X（k）=DFT[x（n）]_N，0≤k≤N-1

证明：

令n+m=n′，有

由于上式中求和项是以N为周期，对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区间内，则

五、频移性质

如果

则

式（3-49）的证明方法与时移性质类似。

六、复共轭序列的DFT

已知x^*（n）是x（n）的复共轭序列，x（n）的N点傅里叶变换为X（k），那么x^*（n）的DFT可表示为

证明：

由于X（k）的隐含周期性，有X（N）=X（0）。

用同样的方法可以证明：

七、DFT的共轭对称性质

本章第一节介绍了无限长时间离散信号在时域和频域的对称性质，它们都是关于坐标原点共轭对称或反对称。类似地，有限长序列在时域和频域也具有对称性质，但它们是关于n=N/2对称。

（一）有限长序列的共轭对称性和共轭反对称性

为了区别本章第一节里的傅里叶变换的对称性，用x_ep（n）和x_op（n）分别表示有限长共轭对称序列和有限长共轭反对称序列。它们满足下面的关系式：

当N为偶数时，用N/2-n代替上面式中的n，可得到

以上两个式子说明有限长共轭对称序列关于n=N/2对称。类似于前面介绍的任何一个无限长序列可以写成共轭对称序列和反对称序列相加的形式，有限长序列也可以写成共轭对称分量和共轭反对称分量之和的形式，即

将上式中的n用N-n代替，并取共轭，可以得到下面的式子

由式（3-54）和式（3-55）相加或相减可得

（二）DFT的共轭对称性

与时域对称性质的表达方式类似。在频域，用X_ep（k）和X_op（k）分别表示离散傅里叶变换的共轭对称性和共轭反对称性。它们满足下面的公式：

如果序列x（n）的DFT用X（k）表示，那么X（k）可表示成

X（k）=X_ep（k）+X_op（k）

与时域的推导方法类似，可得到下面两个公式：

（1）将x（n）写成实部和虚部相加的形式，即

式中

对以上两式左右两边进行DFT，有

以上两式说明，序列x（n）的实部x_r（n）的傅里叶变换具有共轭对称的性质，虚部x_i（n）和j的乘积的傅里叶变换具有共轭反对称的性质。

（2）将x（n）写成共轭对称分量和共轭反对称分量相加的形式，即

x（n）=x_ep（n）+x_op（n）

对x_ep（n）和x_op（n）分别进行DFT，可得

以上两式说明，如果一个有限长序列写成共轭对称分量和反对称分量相加的形式，其共轭对称分量x_ep（n）的离散傅里叶变换是原序列x（n）的离散傅里叶变换的实部，其共轭反对称分量x_op（n）的离散傅里叶变换是原序列x（n）的离散傅里叶变换的虚部乘以j。

如果x（n）是实序列，那么x（n）=x^*（n），即序列只有实部。因此，可得

下面用一个MATLAB的例子说明序列的对称性质。

例3-11 设x（n）=10（0.5）ⁿ，0≤n≤7，绘出x（n）的共轭对称分量x_ep（n）和共轭反对称分量x_op（n）的图形，验证式（3-63）和式（3-64）。

解：MATLAB参考脚本如下：

运行结果如图3-6所示。

由图3-6b可知，共轭对称分量的DFT等于原序列DFT的实部，共轭反对称分量的DFT等于原序列DFT的虚部乘以j。