- 数字信号处理及MATLAB实现
- 刘芳 周蜜编著
- 2062字
- 2021-11-12 11:20:06
第一节 离散信号的傅里叶变换
一、定义
连续时间非周期信号的频域分析,是对其进行傅里叶变换,同样,离散时间非周期信号(采样信号)的频域分析,也可进行傅里叶变换。
设原信号为x(t),采样信号为x(n)=x(t)|t=nT,则x(n)的傅里叶变换定义为
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/48_01.jpg?sign=1734436440-7NP8QoXrzTmxdzx9cJ8eUtf5iKCafKL3-0-5a4f00ed06ba2541daefb88d3b817cc6)
式(3-1)成立的前提条件是X(ejω)绝对可和,即|X(ejω)|<∞。
因为
所以,|X(ejω)|<∞等价于
其傅里叶逆变换为
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/48_04.jpg?sign=1734436440-v1qgNTCi1r3fbTCnVCHZLCLWOTLYABmx-0-21ddc03785b4c1b539f4325bba1c5d79)
式(3-1)和式(3-2)组成了序列x(n)的傅里叶变换对。表3-1列举了一些常用序列的傅里叶变换,这里仅举几例说明。
表3-1 常用离散信号的傅里叶变换
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/48_05.jpg?sign=1734436440-bszW56A0QNUdlz8FStSbSupmJOHN2FLD-0-acba6f99bd8df6a122acc79d31b46c78)
(续)
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/49_01.jpg?sign=1734436440-FQ4TKqEpWZ4XPICuMOgSiYTXAzlthyAM-0-a1d9c061d4bd9125597baa84ee034271)
例3-1 求单位采样序列δ(n)的傅里叶变换。
解:
例3-2 求指数序列anu(n)的傅里叶变换,其中|a|<1。
解:
二、性质
离散时间信号的傅里叶变换性质有很多,这里对它们作简单介绍,并归纳在表3-2中。
(一)周期性
X(ejω)具有隐含的周期性,通过式(3-3)可以证明。
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/49_04.jpg?sign=1734436440-2yzDp9WuFOUoSctlWq4cAQuIordJSEPq-0-5cefe2f0f599d0de68fc87dddffd4e57)
利用公式e-j2πk=1,可证明X(ejω)是关于ω=2πk的周期函数。通常对X(ejω)的研究只取一个周期内的数据,把ω∈[-π,π]称作主值区间。
表3-2 离散时间信号傅里叶变换的性质
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/49_05.jpg?sign=1734436440-pTrPbnFhxzkFdy5GgvOcKTjqK0qKcQ71-0-7a3a1eefd812d45cc788f166db7f78ff)
(续)
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/50_01.jpg?sign=1734436440-2sQswKmKpwFvyRTeEitlgpclqRQlq954-0-270d31c1041e5eeb7584f31906fc7d87)
(二)线性性质
若序列x1(n)和x2(n)的傅里叶变换分别为X1(ejω)=FT[x1(n)]和X2(ejω)=FT[x2(n)],则序列x(n)=ax1(n)+bx2(n)(a,b是任意常数)的傅里叶变换X(ejω)等于a X1(ejω)+b X2(ejω),即
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/50_02.jpg?sign=1734436440-iKjHbXKl4rK2yq0Af3jZEbM83fhciQUz-0-c562c50d729f0392530f3e2911f5b7d4)
证明略。
(三)时间反转定理
若y(n)=x(-n),则y(n)的傅里叶变换为X(e-jω),即
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/50_03.jpg?sign=1734436440-Iva74DkMsYNoJ3O2ct3kBPRnU1TuyPKp-0-cee7d2f7d474dcfd915d58b6828fa169)
证明如下:
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/50_04.jpg?sign=1734436440-C80zMdUJu9Gf1IP8Lw79iLunNkUzN8jC-0-f8915bdbe999eac852f5814ec56891c6)
(四)时移定理
延时序列y(n)=x(n-n0)的傅里叶变换为,n0为整数,即
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/50_06.jpg?sign=1734436440-FF3o4u03YYd5wa6TBFbESNxMQMLsd75X-0-f139ff4ff796133cf9b8a2e083d4ded4)
证明如下:
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/50_07.jpg?sign=1734436440-8eNfotAkpwLkgOYFaYI9fkEd05SyNK8A-0-6530aa627ce80c243cfe69f1fca84e58)
例3-3 求序列y(n)=anu(n)-anu(n-M)的傅里叶变换。
解:y(n)=anu(n)-anu(n-M)=anu(n)-aM·an-Mu(n-M)
查表3-1可知anu(n)的傅里叶变换为,又由时移定理可得an-Mu(n-M)的傅里叶变换为
。利用线性性质,y(n)的傅里叶变换为
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/51_01.jpg?sign=1734436440-ppk6D9TrF26rBs72T8oGSRGejulW3Wls-0-3e56fca087fa87c186be946eb2d94f9a)
(五)频移定理
序列的傅里叶变换为
,即
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/51_04.jpg?sign=1734436440-Xt8SLtVAu2XJ8gK1LEVMwGhQ69wRh9sj-0-ba6c13723c21887f8974b895796b7372)
证明方法可参考时移定理。
例3-4 设x(n)=cos(πn/2),y(n)=ejπ/(4n)x(n),用MATLAB程序验证频移定理。
解:MATLAB参考程序如下:
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/51_05.jpg?sign=1734436440-qv9yZzIVOfynakXYjt402ygEyFLh67nw-0-b2665087282ba67062eef2c16990e5c5)
运行结果如图3-1所示。
由图3-1中的幅度和相位图可知,y(n)的傅里叶变换相对于x(n)的傅里叶变换向右平移了π/4,由此证明了频移定理。
例3-5 求序列y(n)=(-1)nanu(n)的傅里叶变换,其中a<1。
解:可将序列y(n)变形为y(n)=ejπnx(n)的形式,其中x(n)=anu(n)。由例3-2的结论,再根据频移定理,y(n)的傅里叶变换为
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/52_01.jpg?sign=1734436440-Bn75YFXA87xJJ77aIeFF3TrOQk2TM6JX-0-885879701f6b7b37bd683f88be7aafa8)
图3-1 例3-4的运行结果
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/52_02.jpg?sign=1734436440-POZ97PheudmteKFOIFT9wfZUnW2gEzC0-0-5a743b0285cef5016082d49c029dbacb)
(六)频域微分定理
序列y(n)=nx(n)的傅里叶变换为,即
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/52_04.jpg?sign=1734436440-Wyi9P40ZMhxbBpXtBgJikzesu0Pptgwc-0-2f0dd6a700e8b9a7cac13702ad8a5901)
证明略。
例3-6 求序列y(n)=nanu(n)的傅里叶变换。
解:根据频域微分定理可得
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/52_05.jpg?sign=1734436440-RdJFoJXgcXP8icu1WFhyHFQ3Uiq18j6f-0-a7ac5132759087f9a602a26f0ed08e37)
(七)卷积定理
设y(n)=x1(n)*x2(n),则Y(ejω)可表示成
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/52_06.jpg?sign=1734436440-BkIjqnovUU23TCotA8wokYuNJrY8acDf-0-f34b125cff892a9eb808ab583c110627)
证明:由卷积的定义可知:
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/52_07.jpg?sign=1734436440-GWUDWAFFv9HBxySVgbpMCaF5BclWs4lL-0-7eca5ff389c2e7b9e1839c031fa8de4c)
对上式两边进行傅里叶变换,得
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/52_08.jpg?sign=1734436440-4uHx6EZFAMnCVkDIZezthCES4Ue4mtmB-0-574c4b8b8c47726deb52c84d94814dd7)
将k=n-m代入上式,得
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/53_01.jpg?sign=1734436440-IWaSEZY4l0zu0Kzw5Tf7OBBKrsnrPSxN-0-914d77c8fce1b060115e29f0cbae7bc6)
(八)调制定理
设y(n)=x1(n)·x2(n),则Y(ejω)可表示成
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/53_02.jpg?sign=1734436440-JOyTVR8zSqABk7DtDzzr3RiTVPTM5hII-0-464a071ebac0a4d138ff16d6d5aa6145)
证明略。
(九)帕塞瓦尔定理
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/53_03.jpg?sign=1734436440-UGnxqaCsoAbk3K0IcerU34lbROr5l9gA-0-17a073562f6452ee80d35ecbcf958e99)
证明略。
(十)对称性
在学习对称性之前,先介绍共轭对称序列和共轭反对称序列的定义。
设序列xe(n)满足下列表达式:
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/53_04.jpg?sign=1734436440-oiTh754IXb497w7lIQziKpMGEp76zbRf-0-59364a8e7b0ce81b85c9c2b6d2224b87)
x e(n)称作共轭对称序列。如果将其写成实部与虚部相加的形式,即
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/53_05.jpg?sign=1734436440-EX9qmg0Di5PwF47KNE94vnheoOYrwGgy-0-e7729bcf4b9a7dd6123ee6e5a107743c)
将式(3-13)中的n用-n代替,并取共轭,得
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/53_06.jpg?sign=1734436440-96ImdrKxKEVBt4JkRoI5E9wqY30MEOvc-0-ce934ed68b05f2d47478c879dcdcc253)
将式(3-13)和式(3-14)代入式(3-12)中,得
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/53_07.jpg?sign=1734436440-cKtyQVP4cROQz0zye1KHDM7u9rcTzigO-0-d5f2170fc0af383e27013a9f961001b4)
以上两式表明,共轭对称序列的实部为偶函数,虚部为奇函数。类似地,可得出共轭反对称序列[用xo(n)表示]的定义及性质。
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/53_08.jpg?sign=1734436440-46hHnvMdN4rhWue4fophvKS5G1G7Yhne-0-143c15cce4139ff569ed27aeedc50680)
满足式(3-17)的序列称为共轭反对称序列。式(3-18)和式(3-19)表明,共轭反对称序列的实部为奇函数,虚部为偶函数,这与共轭对称序列正好相反。
下面研究一般序列与共轭对称序列和共轭反对称序列之间的关系。
1.将序列写成共轭对称部分和共轭反对称部分相加的形式
一个序列通常可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示,即
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/53_09.jpg?sign=1734436440-cKfksi1zJN7HMaz2XKdRtZt0e7I7wqE2-0-d1cb0a514bb07781abd85e5d561e2872)
将式(3-20)中的n用-n代替,并取共轭,得到
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/54_01.jpg?sign=1734436440-nsFoD4OAiRmIpDxnY7ODNdyjG1R8R6L1-0-2c2b41cc9393c0894cec34a09c8e750b)
对照式(3-20)与式(3-21),有
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/54_02.jpg?sign=1734436440-1m4tEkiledF5MqC0KxjxsWKax9PRMEPI-0-af14ad794819c10713721316419518d7)
将式(3-22)和式(3-23)分别进行傅里叶变换得
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/54_03.jpg?sign=1734436440-7tWjBBw0mJwid5dZQBI6Gxxbf47MEIzE-0-de1d20bce1f91d17041ac97435023a4a)
式中,X(ejω)为序列x(n)的傅里叶变换;XR(ejω)和XI(ejω)分别为X(ejω)的实部和虚部。
式(3-24)和式(3-25)说明,如果一个序列写成共轭对称和反对称部分相加的形式,则共轭对称部分的傅里叶变换为原来序列傅里叶变换的实部,共轭反对称部分的傅里叶变换为原来序列傅里叶变换的虚部乘以j。
2.将序列写成实部和虚部相加的形式
如果将序列x(n)写成x(n)=xr(n)+jxi(n)的形式,实部和虚部的傅里叶变换分别为
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/54_04.jpg?sign=1734436440-a5DUpKB1ImlhORcZ7zzoCwua3djY8pCn-0-b210f1c28230b6c965e194ef57a42bda)
可以证明式(3-26)具有共轭对称的性质,式(3-27)具有共轭反对称的性质,参照时域的共轭对称性,定义
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/54_05.jpg?sign=1734436440-1BltSV7cQkNdIHwrMLdvOOqJV0VxywJy-0-d4fb3384bf491b9dce02524e941268a6)
式(3-28)和式(3-29)说明,如果一个序列写成实部和虚部相加的形式,则其实部的傅里叶变换Xe(ejω)具有共轭对称的性质,虚部与j相乘的傅里叶变换Xo(ejω)具有共轭反对称的性质。
例3-7 设x(n)=sin(πn/2),-5≤n≤10,用MATLAB程序验证该实序列的对称性质。
解:MATLAB参考脚本如下:
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/54_06.jpg?sign=1734436440-YyWXFhQfQRFfUbYno9MI7doknKRgTaXj-0-e1cdfa15c2c9325399ee36aa50e2d405)
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/55_01.jpg?sign=1734436440-GEiYAS6en5iNocCZhmY0tpLElQPjbkQB-0-a8c0b25bb4c7a5133171cec8c03129cb)
运行结果如图3-2所示。
由图3-2可看出,如果将序列x(n)写成共轭对称部分和反对称部分相加,其共轭对称部分的傅里叶变换(见图3-2c)等于x(n)的傅里叶变换的实部(见图3-2a),用Re(X)表示。其共轭反对称部分的傅里叶变换(见图3-2d)等于x(n)的傅里叶变换的虚部(见图3-2b),用Im(X)表示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/688291/21570843601309506/epubprivate/OEBPS/Images/56_01.jpg?sign=1734436440-2nhU6lkCRLBNkl2i1492B7a0lDMh6JJ0-0-aaf24d2ae33c0c18ad2975df3c76cfb0)
图3-2 例3-7的运行结果