第四节 模数转换和数模转换

实际应用中感兴趣的信号大多是模拟信号，如语音信号、生物学信号、地震信号、雷达信号、声纳信号和各种通信信号如音频与视频等。要通过数字方法处理模拟信号，有必要先将它们转换成数字形式，即转换成具有有限精度的数字序列，这一过程称为模数（A/D）转换，而相应的设备称为A/D转换器（ADC）。

从概念上，将A/D转换视为三步完成过程，如图2-15所示。

（1）采样：采样是连续时间信号到离散时间信号的转换过程，通过对连续时间信号在离散时间点处取样本值获得。因此，如果x_a（t）是采样器的输入，那么输出是x_a（nT）=x（n），其中T称为采样间隔。

（2）量化：量化是离散时间连续值信号转换到离散时间离散值（数字）信号的过程。每个信号样本值是从可能值的有限集中选取的。未量化样本x（n）和量化输出x_q（n）之间的差称为量化误差。

（3）编码：在编码过程中，每一个离散值x_q（n）由b位的二进制序列表示。

虽然将A/D转换器模型化为采样器、量化器和编码器，但实际上A/D转换是由单个设备执行的，输入x_a（t）产生一个二进制码字。采样和量化操作可以按任意顺序执行，但实际上采样总是在量化之前执行的。

在实际应用的很多场合（例如，语音处理），需要将处理的数字信号转化成模拟信号（很明显，不能听到代表语音信号的采样序列，或者不能看到相应于一个电视信号的数字）。将数字信号转化成模拟信号的过程是熟知的数模（D/A）转换。所有D/A转换器通过执行某种插值操作将数字信号的各离散点连接起来，其精度依赖于D/A转换过程的质量。图2-16说明了D/A转换的样本形式，称为零阶保持或阶梯近似。其他近似也是可能的，如线性连接一对连续样本（线性插值），通过三个连续样本点的二次插值等。

本节将重点论述采样的原理。一方面，证明在信号带宽有限的情况下，采样既不会导致信息丢失，也不会引入信号失真；另一方面，讨论从样本重构模拟信号，由此得到采样定理，即只要采样率足够高就可以避免“混叠”，从而重构原始模拟信号。虽然在A/D转换过程中，量化也是导致信号失真的一个方面，但本节只讨论混叠造成的信号失真。

一、模拟信号采样

对模拟信号采样有很多方式。本书只限于讨论在实际中最常使用的采样类型，即周期采样或均匀采样。可以由下列关系式描述：

式中，x（n）是通过对模拟信号x_a（t）每隔T（s）取样本值获得的离散时间信号。

这一过程如图2-17所示。在两个连续的样本之间的时间间隔T称为采样周期或采样间隔，其倒数1/T=F_s称为采样率（样本数/s）或采样频率（Hz）。

周期采样建立了连续时间信号的时间变量t和离散时间信号的时间变量n之间的关系。事实上，这些变量是通过采样周期T或等价地通过采样率线性相关的，即

由式（2-19）推出，在模拟信号的频率变量F（或 Ω）和离散时间信号的频率变量f（或ω）之间存在一种关系。为建立此关系，考虑模拟正弦信号形式

如果以个样本/s的采样率进行周期采样，那么有

一个离散正弦信号可表示为

式中，n是整型变量，称为样本数；A是正弦信号的幅度；ω是单位为弧度/样本（rad/样本）的频率；θ是单位为弧度（rad）的相位；频率f是由ω=2πf给定。

如果比较式（2-21）和式（2-22），则会注意到两个频率变量F和f呈线性关系，即

或等价于

式（2-23）中的关系证实了相对频率或归一化频率这一命名，有时用来描述频率变量f。如式（2-23）的含义那样，只要知道了采样率F_s，就可以用f确定以Hz为单位的频率F。

连续时间正弦信号的频率变量F（或Ω）的范围是

然而，离散时间正弦信号的情形不同：

将式（2-23）和式（2-24）代入式（2-26），发现当以的采样率采样时，连续时间正弦信号的频率一定会落在某个范围，即

或等价于

这些关系总结见表2-2。从这些关系可以看出，连续时间信号和离散时间信号最基本的不同之处是，频率F和f或者Ω和ω的取值范围不同。连续时间信号的周期采样包含了无限频率范围的变量F（或Ω）到有限频率范围的变量f（或ω）的映射。由于离散时间信号的最高频率是ω=π或f=1/2，由此推出，对于某一个采样率F_s，相应的F和Ω的最高值为

所以，采样引入了争议，既然连续时间信号的最高频率或者Ω_max=πF_s，即信号以速率F_s=1/T采样时可以被唯一区分，那么对于频率大于F_s/2的信号会如何呢？请看下面的例子。

例2-9 通过考察下面两种模拟正弦信号，这些频率关系的含义可以被正确地描述为

解：假如其采样率为F_s=40Hz，则相应的离散时间信号或序列是

然而，，因此x₂（n）=x₁（n）。于是两个正弦信号是相同的，结果是不可区分的。如果给出由所生成的样本值，那么样本值是对应于x₁（t）还是x₂（t）就会引起争议。既然当两个信号以F_s=40个样本/s的速率采样时，x₂（t）准确等于x₁（t），换句话说，在40个样本/s的采样率时，频率F₂=50Hz的信号是频率F₁=10Hz的信号的混叠。

值得注意的是不只F₂是F₁的混叠。事实上，对于40个样本/s的采样率，频率F₃=90Hz同样是F₁=10Hz的混叠，还有频率F₄=130Hz等。所有以40个样本/s的采样率的正弦信号cos2π（F₁+40k）t，k=1，2，3，…，均生成相等的值。结果，它们都是F₁=10Hz的信号的混叠。

一般来说，连续时间正弦信号的采样

以的采样率将产生一个离散时间信号

式中，f₀=F₀/F_s是正弦信号的相对频率。

如果假定-F_s/2≤F≤F_s/2，那么x（n）的频率f₀就会落在频率范围-1/2≤f₀≤1/2，即离散时间信号的频率范围。在这种情况下，F₀和f₀之间是一对一的关系，因此有可能从样本x（n）标识（或重构）模拟信号x_a（t）。

另一方面，如果正弦信号为

其中

以速率F_s采样，很明显，频率F_k将会落在基础频率范围-F_s/2≤F≤F_s/2之外。于是采样后的信号是

它与由式（2-32）采样所得到的式（2-33）中的离散时间信号相同。因此，无数的连续时间正弦信号通过采样可由相同的离散时间信号（即相同样本集）表示出来。从而，如果给定序列x（n），那么这些样本值表示哪一个连续时间信号x_a（t）将会引起争议。也就是说，频率F_k=F₀+kF_s，k=±1，±2，…（k为整数）在采样以后与频率F₀是无法区分的，因此它们是F₀的混叠。这种连续时间信号和离散时间信号的频率变量之间的关系如图2-18所示。

一个混叠的例子如图2-19所示，当所用的采样率为F_s=1Hz时，频率为和的两个正弦信号生成相同的样本。从式（2-35）容易推出，对于k=-1，F₀=F₁+。

既然对应于ω=π的频率F_s/2是可以用采样率F_s唯一表征的最高频率，那么确定大于F_s/2（ω=π）的任一（混叠）频率到小于F_s/2的等价频率的映射是一件简单的事情。可以使用F_s/2或ω=π作为枢轴点，并将混叠频率反射或“对折”到范围0≤ω≤π。由于反射点是F_s/2（ω=π），所以频率F_s/2（ω=π）被称为对折频率。

例2-10 考虑模拟信号x_a（t）=3cos（100πt），则

（1）确定避免混叠所需要的最小采样率。

（2）假设信号采样率F_s=200Hz，采样后得到的离散时间信号是什么？

（3）假设信号采样率F_s=75Hz，采样后得到的离散时间信号是什么？

（4）如果生成与（3）相同的样本，相应的信号频率0＜F＜F_s/2是什么？

解：（1）模拟信号的频率是F=50Hz，因此避免混叠所需要的最小采样率是F_s=100Hz。

（2）如果信号采样率为F_s=200Hz，那么离散时间信号是

（3）如果信号采样率为F_s=75Hz，那么离散时间信号是

（4）对于F_s=75Hz的采样率，有

F=f F_s=75f

（3）中正弦信号的频率是f=1/3。因此

F=25Hz

显然，正弦信号

y _a（t）=3cos（2πFt）

=3cos（50πt）

以F_s=75Hz的采样率采样可生成相同的样本。因此，在采样率为F_s=75Hz时，频率F=50Hz是频率F=25Hz的混叠。

二、采样定理

对于给定的任意模拟信号，应该如何选定采样周期T或采样率F_s呢？要回答这一问题，必须具备一些关于被采样信号的特征信息。尤其是，必须具备一些涉及信号的频率范围的一般信息。例如，语音信号的频率成分低于3000Hz，电视信号一般都包含大至5MHz的重要频率成分。这些信号的信息内容包含在各种频率成分的振幅、频率和相位中，但这些信号特征的细节知识在得到信号之前是不可用的。事实上，处理这些信号的目的通常是提取这些细节信息。然而，如果知道一般类型信号的最大频率范围（如语音信号类型、视频信号类型等），那么就可以指定将模拟信号转换成数字信号所必需的采样率。

假设任何模拟信号都可以表示成不同振幅、频率和相位的正弦信号的和，即

式中，N代表频率成分的数目。

所有信号（如语音信号和视频信号）都可以通过任意的短时分割服从于这样一种表示形式。这些振幅、频率和相位通常会从一个时间段到另一个时间段随着时间慢慢改变。然而，假定这些频率不会超过某个已知频率，也就是F_max，例如：对于语音信号F_max=3000Hz，而对于电视信号F_max=5MHz。不同类型的信号的最大频率可能会稍有变化，因此，可将模拟信号通过一个滤波器使大于F_max的频率成分严重衰减，保证信号中不包含大于F_max的频率成分。事实上，这样的滤波通常在采样之前使用。

鉴于对F_max的了解，可以选择合适的采样率。当信号以F_s=1/T的采样率采样时，一种可以被准确重构的模拟信号的最高频率是F_s/2。高于F_s/2或低于-F_s/2的任何频率都会导致与-F_s/2≤F≤F_s/2范围内的相应频率相同的样本。为了避免由混叠引起的争议，必须选择足够大的采样率。也就是说，必须选择大于F_max的F_s/2。因此，为了避免混叠问题，可选择F_s使其满足

式中，F_max是模拟信号中的最大频率成分。

采用这种方式选择采样率，模拟信号中的任何频率分量，即|F_i|＜F_max，就都可以映射成某个离散时间正弦信号，其频率为

或等价为

-π≤ω_i=2πf_i≤π

（2-39）

既然或|ω|=π是离散时间信号中的最高（唯一）频率，那么按照式（2-37）选择采样率就可以避免混叠问题。换言之，条件F_s＞2F_max保证了模拟信号中的所有频率成分都能映射到频率在基础区间内的相应的离散时间频率成分。这样，模拟信号的所有频率分量都可无混淆地表示成采样的形式，因此使用合适的插值（数模转换）方法，模拟信号可以从样本值无失真地重构。这个“合适的”或理想的插值公式是由采样定理指定的。

采样定理：如果包含在某个模拟信号x_a（t）中的最高频率是F_max=B，而信号以采样率F_s＞2F_max=2B采样，那么x_a（t）可以从样本值准确恢复。插值函数为

于是，x_a（t）可以表示为

式中，=x_a（nT）=x_a（n）是x_a（t）的样本。

当x_a（t）的采样以最小采样率F_s=2B执行时，式（2-41）中的重构公式变成

采样率F_N=2B=2F_max称为奈奎斯特率。图2-20展示了使用式（2-40）中的插值函数的理想D/A转换过程。

可以从式（2-41）或式（2-42）观察到，由x（n）重构x_a（t）是一个复杂的过程，包含了插值函数g（t）及其时移g（t-nT）的加权和，其中-∞＜n＜∞，权重因子是样本x（n）。由于复杂性和式（2-41）或式（2-42）所需样本的数目有关，这些重构公式主要是理论上的。

例2-11 考虑模拟信号

x _a（t）=3cos（50πt）+10sin（300πt）-cos（100πt）

该信号的奈奎斯特频率是什么？

解：上述信号所代表的频率是

F ₁=25Hz，F₂=150Hz，F₃=50Hz

于是F_max=150Hz，按照式（2-37）有

F _s＞2F_max=300Hz

奈奎斯特率是F_N=2F_max。因此

F _N=300Hz

讨论：信号成分10sin（30πt）以奈奎斯特率F_N=300Hz采样，导致样本10sin（πn），而它等于零。换言之，当对模拟信号在它的零相交点进行采样时，完全失去了这个信号成分。如果正弦信号在某些量上具有相位偏差，则这种情形就不会发生。在这种情况下，对10sin（30πt+θ）以奈奎斯特率F_N=300Hz进行采样，生成样本

10sin（πn+θ）=10[sin（πn）cosθ+cos（πn）sinθ]

=10sinθcos（πn）

=（-1）ⁿ10sinθ

于是，如果θ≠0或π，以奈奎斯特率所产生的正弦信号的样本不全是零。然而，当相位θ未知时，仍然不能从样本得到正确的振幅。能够避免这种潜在麻烦的一种简单补救方法就是以大于奈奎斯特率的采样率进行采样。

例2-12 考虑模拟信号

x _a（t）=3cos（2000πt）+5sin（6000πt）+10cos（12000πt）

（1）该信号的奈奎斯特频率是什么？

（2）假定现在以F_s=5000Hz的采样率对该信号进行采样。采样后得到的离散时间信号是什么？

（3）如果使用理想插值，能够从这些样本重构的模拟信号y_a（t）是什么？

解：（1）信号中存在的频率是

F ₁=1kHz，F₂=3kHz，F₃=6kHz

于是F_max=6kHz，根据采样定理有

F _s＞2F_max=12kHz

奈奎斯特频率是

F _N=12kHz

（2）既然已经选择F_N=5kHz，那么对折频率是

并且这是由采样信号唯一表达的最大频率。利用式（2-19）可得

最后，得到

相同的结果可以使用图2-18得到。事实上，由于F_N=5kHz，那么对折频率就是=2.5kHz。这是可以被采样信号唯一表示的最大频率。由式（2-35）有F₀=F_k-kF_s。因此F₀可以从F_k减去F_s的整数倍，即-F_s/2≤F₀≤F_s/2。频率F₁＜F_s/2，因此不受混叠的影响。然而，其他两个频率大于对折频率，将会受到混叠影响而改变。事实上

由式（2-23）推出，并且，与上述结果一致。

（3）由于只有1kHz和2kHz的频率分量在采样信号中表示，因此可以恢复的模拟信号是

y _a（t）=13cos2000πt-5sin4000πt

上式明显不同于原始信号x_a（t）。原始模拟信号的失真是由于使用了低采样率产生的混叠效应引起的。

虽然混叠是要避免的缺陷，但是有两种基于混叠效应开发的有益的实际应用，它们是频闪观测仪和示波镜。这两种仪器设计为混叠操作，以便将高频率表示为低频率。

为了详细阐述，考虑一个将高频率分量限制到一个给定频率带宽B₁＜F＜B₂的信号，其中B₂-B₁=B定义为信号的带宽。假定B＜＜B₁＜B₂，这个条件意味着信号中的频率分量比该信号的带宽大得多。这样的信号通常称为带通或窄带信号。现在，如果该信号以采样率F_s≥2B采样，但F_s＜＜B₁，那么该信号中包含的所有频率分量将会是0＜F＜F_s/2范围中频率的混叠。结果，如果考察在基础范围0＜F＜F_s/2中的频率范围，那么既然知道频率带宽B₁＜F＜B₂，就精确知道了频率范围。于是，如果信号是一个窄带（带通）信号，那么从以采样率F_s≥2B对信号进行采样得到的样本重构该原始信号，其中B是带宽。这一结论组成了采样定理的另一种形式，称之为带通形式以区别于采样定理的前一种形式，带通形式一般适用于所有类型的信号，后者有时称为基带形式。