2.2.1 正弦量三要素
正弦交流电的电流或电压或电动势,都满足一般正弦函数的表达式,统称为正弦量。随时间周期性变化的正弦量,只需要有三个参数就可以唯一确定其表达式,在电学领域,这三个参数被称为正弦量三要素:幅值、角频率和初相位。例如在式(2.29)中,对正弦量i,其幅值是Im,角频率是ω,初相位是ψi;对正弦量u,其幅值是Um,角频率是ω,初相位是ψu。
下面分别介绍正弦量的三要素,以及与三要素相关的量。为了表述的方便,将正弦量的一般表达式写为
![](https://epubservercos.yuewen.com/ADEB19/21511156001512506/epubprivate/OEBPS/Images/53_02.jpg?sign=1738945626-goGR7MyLEL8GjbhyJ3oee2vBVmO7yoGV-0-21d197e327059f9cc5d267b53f6f95e3)
这里,正弦量a可以是正弦电流i、正弦电压u和正弦电动势e中任意一个。那么,对正弦量a,其三要素就是幅值Am、角频率ω和初相位ψ。
1.角频率、频率和周期
正弦量在数学上是一个正弦函数,正弦函数是一个周期函数,这个周期就是正弦量的周期,记为T。对正弦量a,根据周期函数的定义有
![](https://epubservercos.yuewen.com/ADEB19/21511156001512506/epubprivate/OEBPS/Images/53_03.jpg?sign=1738945626-Aw9ogsoyuHwLZqvs90o8c5iyzqk4BFp6-0-7bd8a779781277e3e8cb5c93c8cf834a)
即有
![](https://epubservercos.yuewen.com/ADEB19/21511156001512506/epubprivate/OEBPS/Images/53_04.jpg?sign=1738945626-mqmh3HjjeuQiplSrxCOKxLnEcfaWRPsp-0-c4f8cb1fd2b8f1d5b78cf1b2e87e54f6)
根据正弦函数的性质和周期的定义可知,式(2.32)总是成立的条件是
![](https://epubservercos.yuewen.com/ADEB19/21511156001512506/epubprivate/OEBPS/Images/53_05.jpg?sign=1738945626-SFEwy6mUOFosazw7yt8XGycHtkwAiT0p-0-6aac0c5b1d4e3e999ecea76550381812)
也即角频率ω与周期T的关系为
![](https://epubservercos.yuewen.com/ADEB19/21511156001512506/epubprivate/OEBPS/Images/53_06.jpg?sign=1738945626-wWfXTWdcTBC2dpqJNkJBEfGLxOyFIh6n-0-60d387994cbc9e0ef6695c38db8c3af3)
根据频率的定义可知,频率f与周期T的关系为
![](https://epubservercos.yuewen.com/ADEB19/21511156001512506/epubprivate/OEBPS/Images/53_07.jpg?sign=1738945626-vfJTEydWP8TrkeS98lNRsJk8qMacmkjM-0-f0825cecd1dbdeff3fbd9af1b40fb4a2)
所以可以写出角频率ω与频率f的关系为
![](https://epubservercos.yuewen.com/ADEB19/21511156001512506/epubprivate/OEBPS/Images/53_08.jpg?sign=1738945626-TOmH5ee8DTGMLm6T25ySPKXWo4GcGKMr-0-34ac590086b26c1961389adf5dbf09ec)
这里,周期T的国际单位为秒(s);频率f的国际单位为赫兹(Hz);角频率ω的国际单位为弧度/秒(rad/s)。由于角频率和频率、周期存在这种确定的关系,正弦量三要素之一的角频率,也可改为频率或周期,即频率或周期是正弦量的三要素之一。
从正弦量的函数表达式[见式(2.30)]来看,可以广义地认为,直流电是交流电的一种特殊形式,因为只要ω=0,正弦量a的大小和方向将保持不变,退化为直流电。这表明直流电可以看作是频率f=0或周期T→∞的一种特殊正弦交流电。
国家规定,电力系统发电设备、输电设备、变电设备等,以及工业与民用电气设备必须采用一个统一的额定频率。这个额定频率称为工频,这种交流电就称为工频交流电。
各个国家的工频交流电,所使用的频率有两个,50Hz或60Hz。中国使用的交流电,其工频为50Hz。俄罗斯、印度、德国、法国、英国、意大利等大多数国家,其工频交流电的频率都为50Hz。美国、加拿大、韩国等少数国家使用的是60Hz的工频交流电。有些国家则由于历史原因,国内工频交流电的频率并不统一,而是50Hz和60Hz共存,比如日本、巴西、墨西哥、沙特。
2.初相位和相位
对一个正弦量a[见式(2.30)],其相位为ωt+ψ,这是一个角度,而且是随时间变化的角度。正弦量a的初相位为ψ,这是一个角度,而且是一个固定的角度,决定了正弦量的起始位置。初相位也简称为初相。
在计算时,需要注意角频率ω单位与初相ψ单位的对应关系,如果初相ψ用的单位是度(°),则角频率ω的单位应该用(°)/s,如果初相ψ用的单位是弧度(rad),则角频率ω的单位应该用rad/s。
对两个同频率的正弦量a1和a2:
![](https://epubservercos.yuewen.com/ADEB19/21511156001512506/epubprivate/OEBPS/Images/54_01.jpg?sign=1738945626-2pG2qLRip9tVADgBa6Oj6tK6wYbFJbPw-0-b3f6e2491dad449d6d07c2baf691c8e1)
其相位差ϕ=(ωt+ψ1)-(ωt+ψ2)=ψ1-ψ2。所以,对同频率的两个正弦量,其相位差就等于初相之差。对于不同频率的正弦量,由于其相位差ϕ随时间变化,不是一个固定值,其比较没有意义,所以一般不比较不同频率的正弦量。比较两个正弦量时,有一个默认的前提,就是两者的频率或角频率相同。
两个正弦量的相位差ϕ可以用于描述两个正弦量的超前、滞后关系。对式(2.37)所表达的两个正弦量:
● 如果相位差ϕ>0,就称正弦量a1超前正弦量a2;
● 如果相位差ϕ=0,就称正弦量a1与正弦量a2同相;
● 如果相位差ϕ<0,就称正弦量a1滞后正弦量a2。
特别地,当|ϕ|=π时,称正弦量a1与正弦量a2反相。同样,两个相量超前、滞后、同相及反相的关系,比较的是两个同频率的正弦量,这是默认的前提。
3.幅值和有效值
对正弦量a[见式(2.30)],其幅值用对应的大写字母加下标“m”来表达,即Am。比如正弦电压u的幅值记为Um,正弦电流i的幅值记为Im,正弦电动势e的幅值记为Em。幅值表示的是正弦量相对平衡位置所能达到的最大值,与物理上振幅的含义相同。
电气工程上,正弦交流电的大小通常用有效值来表示,而不是写出正弦量的复杂正弦函数。对正弦量a,可以是正弦电压u,也可以是正弦电流i,其有效值是按照热效应来定义的,即:在一个单位电阻,即R=1Ω的电阻元件上,分别加载直流量A(直流电流或直流电压)和正弦量a,若在正弦量a一个周期T内,两者产生的热量相等,则称该直流量A是正弦量a的有效值。即有
![](https://epubservercos.yuewen.com/ADEB19/21511156001512506/epubprivate/OEBPS/Images/55_01.jpg?sign=1738945626-i9GtXVXLfnpNczU7xTdb6lE0zvmh38sw-0-995ccb932bbb5832cf65c80e68b03bff)
一般约定,用正弦量对应的大写字母表示该正弦量的有效值,即正弦量a的有效值记作A。比如正弦电流i的有效值记作I,正弦电压u的有效值记作U,正弦电动势e的有效值记作E。
将正弦量a的表达式(2.30),代入式(2.38)可得
![](https://epubservercos.yuewen.com/ADEB19/21511156001512506/epubprivate/OEBPS/Images/55_02.jpg?sign=1738945626-GAKiSOOdfIJGQl4OzJsZwFm4UeRBiwqb-0-b282e89afcc000c9cfca77f111b90a68)
这即表明,对正弦电流i、正弦电压u和正弦电动势e,其有效值I、U和E分别为
![](https://epubservercos.yuewen.com/ADEB19/21511156001512506/epubprivate/OEBPS/Images/55_03.jpg?sign=1738945626-EG08eaK8qTiJEkM1h7S7gjGYbV5Wo4G3-0-d518da345737c818fe1d0b788a91af6e)
中国工频交流电的正弦电压有效值为220V。大部分国家工频交流电的电压有效值在230V左右,或在120V左右。比如,美国工频交流电电压有效值为110V,英国为240V,德国为220V,印度为127V。